4(4)有理函数及三角函数有理式的积分.pdfVIP免费

第四节几种特殊类型函数的积分有理函数的积分三角函数有理式的积分2有理函数的定义两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.)()(xQxP;都是非负整数、其中nm,,,,,1010都是实数及mnbbbaaa.0,000ba且有理函数的积分一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn真分式;,)2(mn假分式.nnnaxaxa+++-110mmmbxbxb+++-1103例1123+++xxx112++xxmmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP++++++++----11101110)()(多项式的积分容易计算.真分式的积分.只讨论:多项式真分式有理函数的积分有理假分式函数相除多项式+真分式分解若干部分分式之和4对一般有理真分式的积分,代数学中下述定理起着关键性的作用.定理书上无均可表为有限个任何有理真分式)()(xQxP,部分分式的和在实数域如果分母多项式)(xQ:上的质因式分解式为,)()()(20qpxxaxbxQ++-:)()(可唯一的分解为则xQxP,,为正整数)04(2-qp有理函数的积分5)()(xQxP,,,都是常数其中诸iiiNMA,可由待定系数法确定的式中每个分式叫做)()(xQxP+-)(1axA部分分式(最简分式).,)()()(20qpxxaxbxQ++-)04(2-qp+-)(2axA+ax-+++++-1222)(qpxxNxM++++++qpxxNxM21-A1)(+++)(2qpxx11NxM+个常数待定个常数待定2有理函数的积分（1）分母中若有因式，则分解后为kax)(-,)()(121axAaxAaxAkkk-++-+--有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中kAAA,,,21都是常数.特殊地：,1k分解后为;axA-（2）分母中若有因式，其中kqpxx)(2++则分解后为042-qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk++++++++++++-21222211)()(其中iiNM,都是常数),,2,1(ki.特殊地：,1k分解后为;2qpxxNMx+++8由此定理知,有理函数真分式的积分步骤：Step2：求每个分式的积分注系数的确定,一般有三种方法:(1)等式两边同次幂系数相等;(2)赋值;(3)求导与赋值结合使用.有理函数的积分Step1：将真分式分解成部分分式之和9例1求xxxxd1123+++解由多项式除法,有+++1123xxx++1dd2xxxx原式Cxx++arctan22说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.112++xx假分式有理函数的积分10+-+xxxxd6532例2求6532+-+xxx)3)(2(3--+xxx+-2xA)2()3(3-+-+xBxAx)23()(3BAxBAx+-+++-+,3)23(,1BABA-65BA6532+-+xxx解3625-+--xx3-xB比较系数因式分解有理函数的积分11+-+xxxxd6532-+--xxxxd316d215xxxd3625-+--...