3 多元数量值函数的导数与微分-5 梯度.pptVIP免费

20078年月南京航空航天大学理学院数学系1方向导数与梯度方向导数梯度20078年月南京航空航天大学理学院数学系2讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．),(yxfzoyxlPxyP．引射线内有定义，自点的某一邻域在点设函数lPPUyxPyxfz)(),(),().(),(,pUPlyyxxPlx上的另一点且为并设为的转角轴正向到射线设（如图）一、方向导数的定义1.定义20078年月南京航空航天大学理学院数学系3||PP,)()(22yx),,(),(yxfyyxxfz且当沿着趋于时，PPl存在若),(),(lim0yxfyyxxf,z考虑定义这极限为函数在点P沿方向l的方向导数.),(),(lim0yxfyyxxflf记为20078年月南京航空航天大学理学院数学系4.),(),(lim0yxfyyxxflf0),(),(,0yxfyyxxflf则若.),(增加的函数值沿着方向则lyxf0),(),(yxfyyxxf即注120078年月南京航空航天大学理学院数学系5注2时当时当时当时当时、由定义知，当}1,0{)(}0,1{)(}1,0{)(}0,1{)(,)()(0000000000lMflflMflflMflflMflfMfMfyMxMyMxMyx09018027020078年月南京航空航天大学理学院数学系6讨论函数22),(yxyxfz在)0,0(点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？思考题20078年月南京航空航天大学理学院数学系7xfxfxzx)0,0()0,(lim0)0,0(.||lim0xxx同理：)0,0(yzyyy||lim0故两个偏导数均不存在.思考题解答20078年月南京航空航天大学理学院数学系8沿任意方向},{bal的方向导数,)0,0(),(lim0)0,0(fyxflz1)()()()(lim22220yxyx故沿任意方向的方向导数均存在且相等.20078年月南京航空航天大学理学院数学系9且有导数都存在的方向方向那么函数在该点沿任意处可微在点设,,),(),(lyxMyxfz}sin,{cos.lxl故方向的夹角与正2.方向导数的存在性与计算定理)1(sincosyfxflf20078年月南京航空航天大学理学院数学系10证明由于函数可微，则增量可表示为)(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf两边同除以,得到cossin)(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf故有方向导数),(),(lim0yxfyyxxf.sincosyfxfl...