2 多元函数的极限与连续性-3.pptVIP免费

20078年月南京航空航天大学理学院数学系1多元函数的极限与连续性二元函数的连续性有界闭域（紧集）上连续函数的性质20078年月南京航空航天大学理学院数学系2一、二元函数的连续性※连续性的定义.D0,0,0(;)PUPD若只要,就有0|()()|,(1)fPfP则称f关于集合D在点连续.在不致误解的情形0P下,也称f在点连续.0P若f在D上任何点都关于集合D连续,则称f为D上的连续函数.2RD定义1设f为定义在点集上的二元函数,0P20078年月南京航空航天大学理学院数学系3由上述定义知道:若是D的孤立点,则必定是0P0P00lim()().(2)PPPDfPfP0Pf的连续点.若是D的聚点,则f关于集合D在点连续等价于0P如果是D的聚点,而(2)式不成立(其含义与一元0P函数的对应情形相同),则称是f的不连续点(或0P称间断点).特别当(2)式左边极限存在,但不等于如上节例1、2给出的函数在原点连续;例3、4、50()fP0P是f的可去间断点.时,20078年月南京航空航天大学理学院数学系4给出的函数在原点不连续.又若把上述例3的函数改为222,(,)(,)|,0,(,),(,)(0,0),1xyxyxyymxxxyfxymxym上，这时由于2(,)(0,0)lim(,)(0,0),1xyymxmfxyfm其中m为固定实数,亦即函数f只定义在ymx20078年月南京航空航天大学理学院数学系522,(,)(0,0),(,)(0)0,(,)(0,0),xxyfxyxyxy在坐标原点的连续性．22(cos,sin)(cos)0,frrrr(,)(0,0)lim(,)0(0,0),xyfxyf因此此时f在原点连因此f在原点沿着直线是连续的．ymx例1讨论函数解由于当20r且时,20078年月南京航空航天大学理学院数学系6(,)(0,0)2,lim(,)xyfxy时续;而当不存在，此时f在原点间断．※全增量与偏增量00000(,)(,),,,PxyPxyDxxxyyy、设0000(,)(,)(,)zfxyfxyfxy称0000(,)(,)fxxyyfxy量形式来描述连续性,即当为函数f在点的全增量.和一元函数一样,可用增0P20078年月南京航空航天大学理学院数学系7(,)(0,0)(,)lim0xyxyDz时,f在点连续.0P00,xy或如果在全增量中取则相应得到的增量称为偏增量,分别记作000000(,)(,)(,),xfxyfxxyfxy000000(,)(,)(,).yfxyfxyyfxy一般说来,函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和.20078年月南京航空航天大学理学院数学系8若一个偏增量的极限为零,如000lim(,)0,xxfxy0yy0(,)fxy则表示当固定时,作为x的函数,它在x0连续.同理,...