2(5)函数的微分.pdfVIP免费

1微分的定义微分的几何意义微分公式与运算法则第五节函数的微分(differential)微分在近似计算中的应用2函数的微分导数微分导数与微分表示函数在一点处由自变量所引起的函数变化的快慢程度.是函数在一点处由于自变量微小变化所引起的改变量的近似值.有着密切的联系.3正方形金属薄片受热后面积的改变量.20xA0x0x,00xxx变到设边长由,20xA正方形面积2020)(xxxA.)(220xxx)1()2(;的主要部分为Ax)1()2(xx2)(x1.问题的引出函数的微分实例xxx0xx0一、微分的定义的线性(一次)函数,x当,的次要部分为A很小时可忽略..2,0xxAx很小时当的高阶无穷小,4再如,,03时处的改变量为在点设函数xxxy3030)(xxxy.)()(3332020xxxxx)1()2(,很小时当xy,)2(的高阶无穷小是x既容易计算又是较好的近似值.y求函数的改变量函数的微分.320xx5),(xfy对一般函数,的常数是不依赖于其中xAxAy,0A当xAy满足如果)(xfyy一定条件,的是因此xxA之差且它与y线性函数,).(xo函数的微分则函数的增量可以表示为)(xo,很小时且xxAy6定义1,)(在某区间内有定义设函数xfy2.微分的定义,00在这区间内及xxx)()(00xfxxfy如果),(无关的常数是与其中成立xA0)(xxfy在点则称函数xA0dxxy相应于自变量在点0)(xxfy.d0xAyxx即可微(differentiable),A为微分系数函数的微分),(d0xf或记作微分(differential),并称为函数的增量x)(xoxA·7满足什么条件的函数是可微的呢？微分的系数A如何确定呢?微分与导数有何关系呢?下面的定理回答了这些问题.8可微在点函数0)(xxf定理证(1)必要性,)(0可微在点xxf),(xoxAy.A,)(0可导在点即函数xxf3.可微的充要条件)(xf函数.)(d0xxfy即有).(0xfA且,0处可导在点x函数的微分),(0xfA且xyxxoA)(0limx0limx9(2)充分性),()(0xxxfy,)(0xfxy即,)(0可导在点函数xxf),(lim00xfxyx),()(0xoxxf,)(0可微在点函数xxf.可微可导求导法又叫微分法函数的微分.)(d0xxfy从而.)(0Axf且其微分一定是可微在点函数0)(xxf定理)(xf函数即有,0处可导在点x),(0xfA且.)(d0xxfy)0,0(x10注yyxdlim0)(10xf有时当,0)(0xf)(10xf,0,...