2023学年甘肃省天水市甘谷县第一中学高考数学一模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知锐角满足则（ ） A． B． C． D． 2．设（是虚数单位），则（ ） A． B．1 C．2 D． 3．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 4．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A． B． C． D． 5．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 6．已知变量的几组取值如下表： 1 2 3 4 7 若与线性相关，且，则实数（ ） A． B． C． D． 7．二项式的展开式中，常数项为（ ） A． B．80 C． D．160 8．已知实数，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 9．复数的模为（ ）． A． B．1 C．2 D． 10．已知复数，则的虚部为（ ） A．－1 B． C．1 D． 11．已知为虚数单位，若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 12．若集合，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，，，且，则的最小值为___________． 14．正四面体的一个顶点是圆柱上底面的圆心，另外三个顶点圆柱下底面的圆周上，记正四面体的体积为，圆柱的体积为，则的值是______. 15．的展开式中的系数为________________． 16．函数的单调增区间为__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵． 18．（12分）已知函数的图象在处的切线方程是. （1）求的值； （2）若函数，讨论的单调性与极值； （3）证明：. 19．（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表： AQI 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 重度污染 天数 6 14 18 27 25 10 （1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率； （2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替. （i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列； （ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由. 20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为． （Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，，求的值． 21．（12分）已知凸边形的面积为1，边长，，其内部一点到边的距离分别为.求证：. 22．（10分）已知等差数列的公差，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 利用代入计算即可. 【题目详解】 由已知，，因为锐角，所以，， 即. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题. 2、A 【答案解析】 先利用复数代数形式的四则运算法则求出，即可根据复数的模计算公式求出． 【题目详解】 ∵，∴． 故选：A． 【答案点睛】 本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用， 属于容易题． 3、C 【答案解析】 利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果. 【题目详解】 ， 所以，即. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易. 4、D 【答案解析】 先化简函数解析式,再根据函数的图象变换规律,可得所求函数的解析式为,再由正弦函数的对称性得解. 【题目详解】 ,  将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为 ,  再向右平移个单位长度,所得函数的解析式为 , ， 可得函数图象的一个对称中心为，故选D. 【答案点睛】 三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解． 5、B 【答案解析】 分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得的值，之后借助于倍角公式，将待求的式子转化为关于的式子，代入从而求得结果. 详解：根据题中的条件，可得为锐角， 根据，可求得， 而，故选B. 点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解. 6、B 【答案解析】 求出，把坐标代入方程可求得． 【题目详解】 据题意，得，所以，所以． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值． 7、A 【答案解析】 求出二项式的展开式的通式，再令的次数为零，可得结果. 【题目详解】 解：二项式展开式的通式为， 令，解得， 则常数项为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题. 8、C 【答案解析】 利用不等式性质可判断，利用对数函数和指数函数的单调性判断. 【题目详解】 解：对于实数， ，不成立 对于不成立． 对于．利用对数函数单调递增性质，即可得出． 对于指数函数单调递减性质，因此不成立． 故选：． 【答案点睛】 利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法． 9、D 【答案解析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【题目详解】 解：， 复数的模为． 故选：D． 【答案点睛】 本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 10、A 【答案解析】 分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【题目详解】 ，故的虚部为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题. 11、A 【答案解析】 分析：题设中复数满足的等式可以化为，利用复数的四则运算可以求出. 详解：由题设有，故，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题. 12、A 【答案解析】 先确定集合中的元素，然后由交集定义求解． 【题目详解】 ，. 故选：A． 【答案点睛】 本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由，先将变形为，运用基本不等式可得最小值，再求的最小值，运用函数单调性即可得到所求值. 【题目详解】 解：因为，，，且， 所以 因为，所以 ， 当且仅当时，取等号， 所以 令，则， 令，则， 所以函数在上单调递增， 所以 所以 则所求最小值为 故答案为： 【答案点睛】 此题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和满足的条件：一正二定三相等，考查利用单调性求最值，考查化简和运算能力，属于中档题. 14、 【答案解析】 设正四面体的棱长为，求出底面外接圆的半径与高，代入体积公式求解． 【题目详解】 解：设正四面体的棱长为， 则底面积为，底面外接圆的半径为， 高为． ∴正四面体的体积， 圆柱的体积． 则． 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查多面体与旋转体体积的求法，考查计算能力，属于中档题． 15、 【答案解析】 在二项展开式的通项中令的指数为，求出参数值，然后代入通项可得出结果. 【题目详解】 的展开式的通项为，令， 因此，的展开式中的系数为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题. 16、 【答案解析】 先求出导数，再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的的集合，从而可得函数的单调增区间. 【题目详解】 函数的定义域为. ， 令，则，故函数的单调增区间为：. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、． 【答案解析】 试题分析：，所以． 试题解析： B．因为， 所以． 18、（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；（3）见解析. 【答案解析】 （1）切点既在切线上又在曲线上得一方程，再根据斜率等于该点的导数再列一方程，解方程组即可； （2）先对求导数，根据导数判断和求解即可. （3）把证明转化为证明，然后证明极小值大于极大值即可. 【题目详解】 解：（1）函数的定义域为 由已知得，则，解得. （2）由题意得，则. 当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以，单调递减区间为，单调递增区间为， 的极小值为，无极大值. （3）要证成立， 只需证成立. 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的极大值为，即 由（2）知，时，，且的最小值点与的最大值点不同，所以，即. 所以，. 【答案点睛】 知识方面，考查建立方程组求未知数，利用导数求函数的单调区间和极值以及不等式的证明；能力方面，考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；试题难度大. 19、（1）；（2）（i）详见解析；（ii）会超过；详见解析 【答案解析】 （1）利用组合进行计算以及概率表示，可得结果. （2）（i）写出X所有可能取值，并计算相对应的概率，列出表格可得结果. （