带负顾客、止步和中途退出的■单重工作休假排队系统_王莉.pdf

第 43 卷 第 1 期 高 师 理 科 学 刊 Vol.43 No.1 2023 年 1 月 Journal of Science of Teachers College and University Jan.2023 文章编号：1007-9831（2023）01-0014-06 带负顾客、止步和中途退出的1xMMN 单重工作休假排队系统 王莉（宿迁学院 文理学院，江苏 宿迁 223800）摘要：在单重工作休假中加入止步和批量到达 2 个因素，建立了带负顾客、止步和中途退出的1xMMN单重工作休假排队系统利用马氏理论和矩阵法建立了系统的稳定状态方程组，同时得出了其稳态概率的矩阵解，获得了系统稳态下的一些性能指标 关键词：止步；批量到达；单重休假；矩阵几何解法 中图分类号：O226 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2023.01.004 1XMMNsingle working vacation queuing system with negative customers，balking，reneging WANG Li（School of Liberal and Science，Suqian University，Suqian 223800，China）AbstractAbstract：The1XMMNsingle working vacation queuing system with negative customers，balking，reneging is established by adding two factors of balking and batch arrival into single working vacationThe steady-state equations of the system are established by using Markov theory and matrix method，and the matrix solution of steady-state probability is obtained，and some steady-state performance indexes of the system are obtained Key wordsKey words：balking；batch arrival；single working vacation；matrix-geometric solution 在实际应用中，为了更好地满足社会和自身价值的需求，有些系统必须要求在休假时不停止工作，而是以低于正常工作的效率来进行服务，这样的休假模式称为工作休假，如果处在这一时期时，服务效率降为零，将会变为经典休假近年来，工作休假研究的模型越来越复杂1-7，其中考虑负顾客侵入的研究4-7占有相当大的比例所谓负顾客是相对正常进入系统的顾客而言，它是一些外来因素对服务台的影响，它的出现可以消除正在接受服务的顾客，如果系统内没有可消除的顾客，它会自行消失，不接受服务另外，在休假排队模型中考虑止步和中途退出个因素的研究8-10也不在少数 在单重工作休假排队模型中同时考虑负顾客、止步和中途退出几个因素的研究目前还较少，本文在模型中加入了批量到达条件，构造了一个带负顾客、止步和中途退出的1XMMN单重工作休假排队新模型，讨论了新模型的一些性能指标.1 模型描述 假定到达的顾客有种类型，即正常到达的顾客（正顾客）和负顾客，系统是一次只服务一个顾客的 收稿日期：2022-03-24 基金项目：宿迁市科技计划项目（21SYB-33）作者简介：王莉（1980-），女，山东武城人，讲师，在读博士研究生，从事排队论和随机网络研究E-mail： 第 1 期 王莉：带负顾客、止步和中途退出的1xMMN单重工作休假排队系统 15 单服务台，正、负顾客的到达分别是成批次和单个的 Poisson 流，其参数分别为和，记每批正顾客数的分布列为KP，1KN负顾客的出现能消除排在第一的正顾客，且一个负顾客只能消除一个正顾客，否则会自行消失到达的每批顾客排队接受服务的可能性设为b，不排队接受服务（即止步）的概率为1b-令1KiiXX=，其中进入系统的每批次有K个顾客，iX服从两点分布，即0 11 ibXb-=，且相互独立则X为到达的这批顾客的总数量，其概率分布为 11()1(1),1KNKNnnr niirrrir nir nnP XnPXPXr PC bbPnNK-=-()101100(1),0KNKNriirririrnP XPXPXr PbPnK=-=为方便起见，记(),0nmP XnnN=显然()0nmP Xn=在系统没有顾客时，它会进入一个以V为随机时长的工作休假期，并且V服从参数为的负指数分布，假期内到达的顾客也接受服务，但服务效率V会比忙期B低在一个假期结束时，如果系统是空的，那么将会进入闲期；反之，系统会结束假期进入忙期，直到再次为空时忙期结束假期和忙期的服务时间都服从负指数分布 排在队列中等待服务的顾客会因为队列长度产生厌烦，可能会不再排队而中途退出设定顾客在系统内停留的时间分布是负指数分布，参数为，则顾客在系统忙期时中途退出率为()(1),2r nnnN=-假定服务过程、到达过程各随机变量间均相互独立，服务顺序按先到优先原则 基于以上假定所建立的模型称为带负顾客、止步和中途退出的1XMMN单重工作休假排队系统 2 稳态概率方程组的建立 令()N t表示时刻t系统中的顾客数，()J t表示时刻t服务员的工作状态，定义 0 ()1 tJ tt=时务员处时务员处闲规刻 服于工作休假期刻 服于期或正忙期 则(),(),0N tJ tt 为二维马尔可夫过程，状态空间为(,0):0(,1):1nnNnnN=定义系统的稳态概率()()lim(),(),jtP nP N tnJ tjnj=，则其满足方程组()()()()V0B10110V0V0110V0V0110V1(1)(1)(0)(0)(2)(1)()(1)(1)(),21()(1)NiiNNiiiinN niiiiNiiPPmPm PPmPm P ninP nmnP nnNm P NiN=-=-=+=+=+-+=+-+-=+-+()()0011101B1B11101B1B11101B1()(0)(0)(1)(0)(2)(1)()()(1)+(1)(),21()()(1)NiiNNiiiinN niiiiNiiP NPm PPm PPmPP nm P ninP nmnP nnNP Nm P NiN=-=-=+=+-+=+-+-=+-1()P N 16 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 3 稳态概率的矩阵几何解 将转移概率矩阵分块，得到 01121T2NiiAnCOmnBOA=-Q 式中：011121021022121032033320010(1)0(1)(1)00000000NNNNNNNNNNNNammmmaammmaammamaa-+=A，0111+Niiam=-，021Va=+，022a=1V1+Niim-=-，2033V1+Niiam-=-+，032Va=+，0V+NNa=-+1(2)Nm-+，0(1)VNNa+=+()1N-，()0(1)(1)V+1NNaN+=-+-；T1(,0,0)=n为1N+维列向量；1O是元素全为 0 的1N+维行向量；2O是元素全为0的N维行向量；0000000000=C 2NOE，EN为N阶单位矩阵；()212,Nmmm=n为N维行向量；B00000000000+=B B234OOO+，3O是 元 素 全 为0的1N-维 行 向 量，4O是 元 素 全 为0的(1)NN-阶 矩 阵；11122121022132323343(1)(1)1(1)00000000NNNNNNNNN NNNammmmaammmaammamaa-=A，111B1Niiam-=-+，21Ba=+，22a=2B1Niim-=-+，32B2a=+，333B12Niiam-=-+，(1)(1)B(2)NNaN-=-+-+1m，(1)B(1)N NaN-=+-，B(1)NNaN=-+-引理11 设(),ijijn naa=RA，若ijijj iaa，1,2,in=，则0.A 定 理 1 设11020NiimrrA=-+=?A，式 中：()112,Nmmm=r为N维 行 向 量；()T2V,0,0=+r为N维列向量；0A?为N阶方阵，则0A?可逆 第 1 期 王莉：带负顾客、止步和中途退出的1xMMN单重工作休假排队系统 17 证明 记()1ijN Na=?A，则 VV11(1)(1),1,2,1N iN iiiiiijiij iaimimaiN-=+-+-+=-VV(1)(1)NNNjj NaNNa=+-+-=显然0A?满足引理的条件，所以0A?可逆 证毕 定理 2 A为可逆矩阵且()10(1)0-=-+ANNbii 证明 设=AND，将ND的其它1N-列都加到第列上，再将第列按展开法展开，得到()B1NNDD-=-+，依此法同理可得()B1,12N iN iDiDiN-=-+-，1B(1)DN=-+-，递推得()1B0(1)0NNNiDi-=-+A，所以A为可逆矩阵 证毕 定理 3 系统的稳态概率为 0(0)P=，1010()(1)nP nnN-=-r A?11(0)NiiPm=，1111021()(1)nNiiP nnNm-=-r AnA?式中：111110102111NNNNiiiimm-=-+-r A er AnA e?；(1)nnN 为N维单位列向量；Ne是元素全为 1 的N维列向量 证明 令稳态向量()()0000111(0),(1),(),(1),()PPP NPP N=PP，记()011,(0),PPP=P，则其满足 01=PQPe （1）式中：e表示元素全为 1 的21N+维列向量 将式（1）表示成分块形式，有()01011121T2,(0),0NiiAnCPPPOmnBOA=-=（2）0111(0)1NNP+=P ePe （3）由式（2）可得 00111(0)0+=P AOPBP （4）T011121(0)(0)0NiimPP=-+=P nO （5）0121(0)0P+=P CnP A （6）令()()00001111(1),(2),(),(2),(3),()PPP NPPP N=?PP，代入式（4），得()()1B1100112320(0),(1),0NiimrOPPPPOOrA=-+=?（7）展开得 18 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 0100(0)0P+=?rP A （8）由式（8）可得 10100(0)P-=-?Pr A （9）从而 ()()()110000100100(0),(0),(0)1,(0)PPPr A Pr AP-=-=-?P （10）同理，由式（5）（6）可知 101(0)(0)NiiPPm=（11）()200121(0),(0)0NOPPPE+=?nP A （12）将式（9）（11）代入式（12），得 11110201(0)NiiPm-=-?Pr AnA （13）将式（10）（11）（13）代入式（3），得 111101010211(0)1NNNNiiiiPmm-=-+-?r A er AnA e （14）将式（14）代入式（10）（11）（13），整理得到系统稳态概率为0(0)P=，1010()(1)-=-r A?nP nnN，11(0)NiiPm=，1111021()(1)nNiiP nnNm-=-r AnA?.证毕 4 系统的一些性能指标 经计算，可得到系统的一些性能指标：（1）忙期概率11B1102111()NNnnnPP n-=-r AnA?；（2）闲期概率I1(0)PP=；（3）工作休假期概率1V01001()1NNnnnPP n-=-r A?；（4）平均等待队长111q0110210222(1)()(1)()=(1)NN