1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司专题31几何综合压轴问题（40题）1．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．(1)将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；(2)将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长．【答案】(1)最大值为，最小值为(2)【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解；（2）过点作，交的延长线于点，根据旋转的性质求得，进而得出，进而可得，勾股定理解，即可求解．【详解】（1）解：依题意，，，当在的延长线上时，的距离最大，最大值为，当在线段上时，的距离最小，最小值为；2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）解：如图所示，过点作，交的延长线于点， 绕顶点逆时针旋转，∴， ，∴，∴，∴，∴，在中，，在中，，∴．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键．2．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证明，推出，利用证明即可证明结论成立；（2）取的中点H，连接，证明是的中位线，设，则，证明，得到，即，解方程即可求解．【详解】（1）证明： 等腰和等腰，∴，，， ，∴，∴，∴， ，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：取的中点H，连接，4原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 点是的中点，∴是的中位线，∴，，设，则， ，∴， ，∴，∴，∴，即，整理得，解得（负值已舍），经检验是所列方程的解，且符合题意，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．5原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，求边上的高的长．(2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点．①如图2，...
