高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI专项突破四•立体几何解答题专题四2022突破1突破2突破1空间位置关系、空间角的向量方法必备知识精要梳理•1.证明线线平行和线线垂直的常用方法(1)证明线线平行:①利用平行线的传递性;②利用平行四边形进行平行转换;③利用三角形的中位线定理;④利用线面平行、面面平行的性质定理等.(2)证明线线垂直:①利用等腰三角形三线合一的性质;②利用勾股定理;③利用线面垂直的性质等.突破1突破22.证明线面平行和线面垂直的常用方法(1)证明线面平行:①利用线面平行的判定定理;②利用面面平行的性质.(2)证明线面垂直:①利用线面垂直的判定定理;②利用面面垂直的性质定理.3.证明面面平行和面面垂直的常用方法(1)证明面面平行最常用的方法是利用面面平行的判定定理.(2)证明面面垂直最常用的方法是利用面面垂直的判定定理.突破1突破24.利用空间向量证明平行与垂直设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),l⊄α,则(1)线面平行:l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直:l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(k≠0).(3)面面平行:α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3(λ≠0).(4)面面垂直:α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.突破1突破25.利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角:设异面直线l,m的方向向量分别为a,b,且它们所成的角为θቀ0<𝜃≤π2ቁ,则cosθ=|cos
|=|𝑎·𝑏||𝑎||𝑏|.(2)直线与平面所成的角:设平面α的法向量为n,直线l的方向向量为m,直线l与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos|=|𝑚·𝑛||𝑚||𝑛|.(3)二面角:设二面角的两个半平面α,β的法向量分别为n1,n2,二面角的大小为θ,则|cosθ|=|cos|=|𝑛1·𝑛2||𝑛1||𝑛2|.突破1突破2关键能力学案突破•考向一空间位置关系的证明[例1](2021·江苏宿迁期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=PA=2,AB=1,E为PC的中点.求证:(1)BE⊥PD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面PCD⊥平面PAD.突破1突破2证明(方法一)(1)如图,取PD的中点F,连接AF,EF,因为E为PC的中点,所以FE∥DC,且FE=DC,又因为DC=2AB,AB∥DC,所以FE∥AB,且FE=AB,所以四边形ABEF是平行四边形,所以BE∥AF.又因为PA=AD,F为PD的中点,所以AF⊥PD,所以BE⊥PD.12突破1突破2(2)由(1)知BE∥AF,AF⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,所以BE∥平面PAD.(3)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AB.又因为AD⊥AB,PA∩AD=A,所以AB...
