数学选择必修第二册RJA第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用020304易错记重难斩高考遇模块导航01知识绘题型决05（详见教材划重点选择必修第二册RJAP119-P120）巩固练06重难斩要点1利用函数极值研究方程根的个数例1设a为实数，已知函数f(x)＝x3－x2－x＋a，当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？【解】方法一：f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－13或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示：x－∞，－13－13－13，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极大值是f－13＝527＋a，极小值是f(1)＝a－1.重难斩由x→＋∞，f(x)→＋∞，x→－∞，f(x)→－∞，综合f(x)的单调性，知当f(x)的极大值f－13＝527＋a<0，即a∈－∞，－527时，它的极小值也小于0，因此曲线y＝f(x)与x轴仅在(1，＋∞)上有一个交点；当f(x)的极小值f(1)＝a－1>0，即a∈(1，＋∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y＝f(x)与x轴仅在(－∞，－13)上有一个交点．所以当a∈－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．重难斩方法二：由f(x)＝x3－x2－x＋a＝0，得a＝－x3＋x2＋x.令g(x)＝－x3＋x2＋x，则g′(x)＝－3x2＋2x＋1.令g′(x)＝0，则x＝－13或x＝1.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化如表所示：x－∞，－13－13－13，11(1，＋∞)g′(x)－0＋0－g(x)↘极小值↗极大值↘所以g(x)的极小值是g－13＝－527，极大值是g(1)＝1.重难斩由x→＋∞，g(x)→－∞，x→－∞，g(x)→＋∞，综合g(x)的单调性，知当g(x)的极小值g－13＝－527>a，即a∈－∞，－527时，它的极大值也大于a，因此曲线y＝g(x)与直线y＝a仅有一个交点；当g(x)的极大值g(1)＝1
xex－2e.(1)【解】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝alnx＋a，则f(1)＝0，f′(1)＝a，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程y＝a(x－1)，把点(3，2)代入切线方程，可得a＝1.(2)【解】由(1)可得f′(x)＝lnx＋1，x>0，当01e时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故...
