第五章微分方程模型•描述随时间连续变化物体或过程的动态变化规律.•微分方程~含自变量、未知函数及其导数的方程.•采用机理分析方法或类比法建立微分方程.物理领域~工程技术,科学研究牛顿定律电路原理非物理领域~人口,经济,生态等特定的内在规律例.火箭发射——由燃料燃烧推力发射的火箭加速度、速度、高度的微分方程.例.人口预测——含人口数量及增长率的微分方程.第五章微分方程模型5.1人口增长5.2药物中毒急救5.3捕鱼业的持续收获5.4资金、劳动力与经济增长5.5香烟过滤嘴的作用5.6火箭发射升空5.7食饵与捕食者模型5.8赛跑的速度5.9万有引力定律的发现5.10传染病模型和SARS的传播世界人口增长年16251804192719601974198719992011人口(亿)510203040506070年1949195319651982199020002010人口(亿)5.425.887.2510.1711.4312.6713.40人口翻番时间123年39年中国人口增长•老龄化提速,性别比失调等凸显,开始调整人口政策.•20世纪的一段时间内人口增长速度过快.•年净增人口由最多的2000多万降到2011年的600多万.47年5.1人口增长预测1953196519825.887.2510.173.模型检验和增长预测年17901800181018201830184018501860人口(百万)3.95.37.29.612.917.123.231.4增长率/10年0.29490.31130.29860.29690.29070.30120.30820.2452年18701880189019001910192019301940人口(百万)38.650.262.976.092.0105.7122.8131.7增长率/10年0.24350.24200.20510.19140.16140.14570.10590.1059年1950196019701980199020002010人口(百万)150.7179.3203.2226.5248.7281.4308.7增长率/10年0.15790.14640.11610.10040.11040.1349•建立数学模型描述人口发展规律，是制定积极、稳妥人口政策的前提.1.两个基本的人口模型2.用美国人口数据估计参数指数增长模型今年人口x0,年增长率r1.一个常用的人口预测公式基本前提~增长率r在k年内保持不变.•根据人口统计数据估计增长率——由x0,xk估计r.•已知增长率预测未来人口.kkrxx)1(0k年后人口例.从1960年到1999年(39年时间)世界人口翻番.该期间的年平均增长率约为r=(log2)/39=1.8%为什么？•单位时间人口增长率为常数r.0()(e)rtxtxtrx)1(0•t→∞,x(t)→∞,按指数规律无限增长.•与常用公式一致?马尔萨斯1798年提出?2.人口指数增长模型的建立•t时刻人口数量为连续、可微函数x(t).单位时间内x(t)的增量为rx(t)•初始时刻(t=0)的人口为x0假设模型rtextx0)(0d,(0)dxrxxxt解释3.指数增长模型的参数估计(数据拟合)rtextx0)(...
