第八章第六节　利用空间向量求空间角.pptVIP免费

第六节利用空间向量求空间角[考纲要求]1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．Contents突破点一利用空间向量求异面直线所成角1突破点二直线与平面所成角2课时跟踪检测34突破点三二面角返回返回突破点一利用空间向量求异面直线所成角返回返回设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．返回返回[典例]如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．[解]（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.返回返回(2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝3.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，－3，2)，A(0，－3，0)，B(1，0,0)，C(0，3，0)．所以PB―→＝(1，3，－2)，AC―→＝(0,23，0)．设PB与AC所成角为θ，则cosθ＝PB―→·AC―→|PB―→||AC―→|＝622×23＝64.即PB与AC所成角的余弦值为64.返回返回[方法技巧][提醒]两异面直线所成角θ的范围是0，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角．向量法求两异面直线所成角的步骤(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝|v1·v2||v1||v2|求解．返回返回[针对训练]1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.55B.53C.255D.35解析：设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量AB1―→＝(－2,2,1)，BC1―→＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈AB1―→，BC1―→〉＝－2×0＋2×2＋1×－10＋4＋1·4＋4＋1＝15＝55.答案：A返回返回2．已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，求异面直线B1C和C1D所成角的余弦值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，设B1C1＝1，CC1＝3＝DD1.∴C1D1＝3，则有B1(3，0,0)，C(3，1，3)，C1(3，1,0)，D(0,1，3)．∴B1C―...