高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI第1课时等比数列前n项和的推导及初步应用第一章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法.(逻辑推理)2.掌握等比数列的前n项和公式,能够运用公式解决相关问题.(数学运算)3.理解并掌握错位相减法求数列前n项和的方法及应用.(数学运算)思维脉络等比数列的前n项和൞前n项和公式的推导前n项和公式的应用错位相减法求和课前篇自主预习激趣诱思2020年5月5日18时,长征5号B运载火箭在海南文昌卫星发射中心成功发射新一代载人飞船试验舱.王明在手机上写下这条消息后将此消息传给两个人,这两个人又在10分钟后将此消息分别传给未知此消息的另外两个人,如此进行下去,40分钟后,这条消息可传遍多少人(如图所示)?知识梳理一、等比数列的前n项和公式对首项为a1,公比为q(q≠0)的等比数列{an},它的前n项和Sn=ቐna1,q=1,a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q,q≠1且q≠0.名师点析当q≠1时,等比数列的前n项和Sn有两个求解公式:当已知a1,q,n时,用Sn=a1(1-qn)1-q(q≠1)较方便;当已知a1,q,an时,用Sn=a1-anq1-q(q≠1)较方便.微判断(1)a1(1-qn)1-q=a1(qn-1)q-1.()(2)在等比数列{an}中,a1=b,公比为q,则前3项和为b(1-q3)1-q.()(3)等比数列前n项和不可能为0.()√××微练习(1)在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,若a1=3,q=4,则S5=.(2)在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,若a1=,a6=16,则S6=.12答案(1)1023(2)632解析(1)由公式可得S5=3×(1-45)1-4=1023.(2)由a1=12,a6=16,得q=2,故S6=12-16×21-2=632.二、错位相减法1.推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法该方法使用时注意两和式中项的对应以公比的幂次一致为标准2.该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和,即若{bn}是公差d≠0的等差数列,{cn}是公比q≠1的等比数列,求数列{bn·cn}的前n项和Sn时,也可以用这种方法.微思考如果Sn=a1+a2q+a3q2+…+anqn-1,其中{an}是公差为d的等差数列,q≠1.两边同乘以q,再两式相减会怎样?提示Sn=a1+a2q+a3q2+…+anqn-1,①qSn=a1q+a2q2+…+an-1qn-1+anqn,②①-②得,(1-q)Sn=a1+(a2-a1)q+(a3-a2)q2+…+(an-an-1)qn-1-anqn=a1+d(q+q2+…+qn-1)-anqn.同样能转化为等比数列求和.微练习下列数列中,可以用错位相减法求和的是()A.{n2}B.{n+3n}C.ቄ-n·ቀ12ቁnቅD.ቄ2nnቅ答案C解析C项中的数列是一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的,故可用错位相减法求和.课堂篇探究学习探究一等比数列前n...
