高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI第2课时习题课充分条件与必要条件的综合应用第一章2021课堂篇探究学习探究一充要条件的证明例1已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.分析第一步,审题,分清条件与结论:在“p是q的充要条件”中p是条件,q是结论;在“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是a3+b3+ab-a2-b2=0,结论是“ab≠0时,a+b=1”.第二步,根据要求确定解题步骤.分别证明“充分性”与“必要性”,先证必要性:“结论⇒条件”;再证充分性:“条件⇒结论”.证明(必要性) a+b=1,∴a+b-1=0.∴a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.(充分性) a3+b3+ab-a2-b2=0,∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.又ab≠0,∴a≠0,且b≠0.∴a2-ab+b2=ቀ𝑎-𝑏2ቁ2+34b2>0.∴a+b-1=0,即a+b=1.综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.反思感悟充要条件的证明(1)充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是什么.(2)证明p是q的充要条件,既要证明“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.(3)证明p的充要条件是q,既要证明“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是必要性,后者证明的是充分性.变式训练求证:方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.证明(必要性) 关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.(充分性) a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.因此,方程有一个根为x=1.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.探究二根据充分条件、必要条件求参数的取值范围例2已知p:-4
