高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第1讲空间几何体的结构、表面积与体积专题四2022内容索引0102必备知识•精要梳理关键能力•学案突破必备知识•精要梳理1.空间几何体的表面积与体积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积①棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.②棱柱、棱锥、棱台的体积V棱柱=Sh(S为底面面积,h为高),V棱锥=13Sh(S为底面面积,h为高),V棱台=13h(S'+ξ𝑆'𝑆+S)(S',S分别为上、下底面面积,h为高).(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积①圆柱、圆锥、圆台的表面积S圆柱=2πr(r+l)(r为底面半径,l为母线长),S圆锥=πr(r+l)(r为底面半径,l为母线长),S圆台=π(r'2+r2+r'l+rl)(r',r分别为上、下底面半径,l为母线长).②圆柱、圆锥、圆台的体积V圆柱=πr2h(r为底面半径,h为高),V圆锥=13πr2h(r为底面半径,h为高),V圆台=13πh(r'2+r'r+r2)(r',r分别为上、下底面半径,h为高).(3)球的表面积与体积①球的表面积S球=4πR2(R为半径).②球的体积V球=43πR3(R为半径).温馨提示求几何体体积常用的方法是:(1)公式法;(2)等积法;(3)割补法.2.几个常用结论(1)若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则其体对角线(即外接球的直径)为ξ𝑎2+𝑏2+𝑐2.(2)正四面体(棱长都为a)的几个结论:①高为ඥ63a;②表面积为ξ3a2,体积为ඥ212a3;③侧棱与底面所成角的正弦值为ඥ63;④相邻两个面所成二面角的余弦值为13;⑤内切球的半径为ඥ612a,外接球的半径为ඥ64a;⑥相对的棱互相垂直.易错警示正四面体一定是正三棱锥,但正三棱锥不一定是正四面体.(3)正方体与球的几个结论:设正方体的棱长为a,则其外接球的半径为ඥ32a,内切球的半径为𝑎2,与各棱相切的球的半径为ඥ22a.关键能力•学案突破突破点一突破点二突破点三突破点四突破点一空间几何体的结构特征[例1—1](2021·新高考Ⅰ,3)已知圆锥的底面半径为ξ2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为()A.2B.2ξ2C.4D.4ξ2答案B解析设圆锥的母线长为l,由题意可知πl=2π×ξ2,解得l=2ξ2,故选B.突破点一突破点二突破点三突破点四[例1-2]如图,有一圆柱形的开口容器(下底面密封),其轴截面是边长为2的正方形,P是BC的中点,现有一只蚂蚁位于外壁A处,内壁P处有一米粒,则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为.突破点一突破点二突破点三突破点四答案ξπ2+9解析如图,侧面的一半展开后得矩形ABCD,其中AB=π,AD=2,问题转化为在CD上找一点Q,使AQ+PQ最短.作点P关于CD的对称点E,...
