高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI素养提升微专题(四)数列解答题中的奇、偶项问题第一编2022规律方法数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究,利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.数列中奇、偶项问题的常见题型有:(1)数列中连续两项的和或积的问题(an+an+1=f(n)或an·an+1=f(n));(2)通项中含有(-1)n的类型;(3){a2n},{a2n-1}的类型;(4)已知明确的奇、偶项问题.考查角度角度一通项中含有(-1)n的数列求和[例1](2021·山东日照二模)已知正项数列{an},其前n项和为Sn,an=1-2Sn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=(-1)nቀ1𝑎𝑛+2𝑛ቁ,求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)因为an=1-2Sn,所以an+1=1-2Sn+1,所以an+1-an=-2an+1,即3an+1=an,所以𝑎𝑛+1𝑎𝑛=13,所以数列{an}是公比为13的等比数列.又a1=1-2S1=1-2a1,所以a1=13.所以an=13·ቀ13ቁ𝑛-1=13𝑛.(2)由(1)得bn=(-1)nቀ1𝑎𝑛+2𝑛ቁ=(-1)n·3n+(-1)n·2n.当n为奇数时,Tn=(-3+32-33+34-…-3n)+2(-1+2-3+4-…-n)=-3[1-(-3)𝑛]1-(-3)+2ቀ-1-𝑛2·𝑛+12ቁ+2(2+𝑛-12·𝑛-12)=-3-3𝑛+14-n-1=-7-3𝑛+14-n.当n为偶数时,Tn=(-3+32-33+34-…+3n)+2(-1+2-3+4-…+n)=-3[1-(-3)𝑛]1-(-3)+2ቂ-1+(-𝑛+1)2·𝑛2ቃ+2ቀ2+𝑛2·𝑛2ቁ=-3+3𝑛+14+n.综上所述,Tn=ቐ-7-3𝑛+14-𝑛,𝑛为奇数,-3+3𝑛+14+𝑛,𝑛为偶数.角度二奇、偶项通项不同的数列求和[例2](2021·浙江温州二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=ቊ𝑛,𝑛为奇数,𝑛2,𝑛为偶数.(1)求a2,a3及通项公式an;(2)记bn=an+an+1,求数列{2n-1bn}的前2n项的和T2n.解(1)因为Sn=ቊ𝑛,𝑛为奇数,𝑛2,𝑛为偶数,所以a1=S1=1,a2=S2-S1=4-1=3,a3=S3-S2=3-4=-1.当n≥3,且n为奇数时,an=Sn-Sn-1=n-(n-1)2=-n2+3n-1,又a1=1符合上式,所以当n为奇数时,an=-n2+3n-1.当n为偶数时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)=n2-n+1.所以an=ቊ-𝑛2+3𝑛-1,𝑛为奇数,𝑛2-𝑛+1,𝑛为偶数.(2)由(1)知,当n为奇数时,bn=an+an+1=4n,当n为偶数时,bn=an+an+1=2.所以2n-1bn=ቊ2𝑛+1·𝑛,𝑛为奇数,2𝑛,𝑛为偶数.所以T2n=1×22+3×24+…+(2n-1)·22n+22+24+…+22n=2×22+4×24+…+2n·22n,所以4T2n=2×24+4×26+…+2n·22n+2,两式相减得-3T2n=2×22+2×24+…+2×22n-2n·22n+2=ቀ23-2𝑛ቁ·22n+2-83,所以T2n=ቀ2𝑛3-29ቁ·22n+2+89.对点演练1.(2021·山东济南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an-3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2log3an+(-1)n·n,求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)当n=...
