高二【数学（人教A版）】空间向量的数量积运算-2课件.pptx

空间向量的数量积运算,年 级：高二 学 科：数学（人教A版）主讲人：李翥 学 校：北京市第五中学,平面向量及其线性运算,空间向量及其线性运算,推 广,平面向量的数量积运算,空间向量的数量积运算,问题1 你能类比平面向量的数量积运算，把它推广到空间向量吗？,追问(1)学习平面向量时，我们是如何研究它的数量积运算的？,夹角,数量积的定义,运算律,应用,追问(2)什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量，给出空间向量夹角的概念吗？,两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，做 a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b，规定0 a，b.,如果a，b，那么向量a，b互相垂直，记作ab.,b,a,两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，做 a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b，规定0 a，b.,如果a，b，那么向量a，b互相垂直，记作ab.,b,a,两个非零平面向量的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，即：a b|a|b|cosa，b.特别地，零向量与任意向量的数量积为0.,追问(3)平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？,已知非零向量a，b，|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积（inner product），记作a b.即 a b|a|b|cosa，b.特别地，零向量与任意向量的数量积为0.,追问(3)平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？,由向量数量积定义，可以得到：若a，b是非零向量，ab a b0；a aa 2|a|a|cosa，a|a|2.,证明空间中的垂直关系,求空间中线段的长度,追问(3)平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？,追问(4)在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？,两个非零向量a，b，a，b，过A和B分别做 所在直线的垂线，垂足分别为A1和B1，得到，称上述变换为向量a向向量b的投影，叫向量a在向量b上的投影向量.,b,a,A1,D,C,B1,追问(4)在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？,b,a,A,B,A1,D,C,B1,b,a,N,M,M1,|a|cosa，b,b,a,a,c,追问(4)在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？,将空间向量a，b，平移到同一个平面内，利用平面上向量的投影得到与向量b共线的向量c，即:c=|a|cosa，b，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.,追问(5)空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？,(a)b(ab)，R；abba（交换律）;a(bc)abac（分配律）.,追问(5)空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？,(a)b(ab)，R；abba（交换律）;a(bc)abac（分配律）.,追问(5)空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？,(a)b(ab)，R；abba（交换律）;a(bc)abac（分配律）.,a(bc)abac（分配律）,问题2 空间向量的数量积运算由平面向量的数量积运算推广而来，与平面向量数量积运算一样，要注意它与向量的线性运算、实数的乘法运算的区别.你能回答以下问题吗？,追问(1)由ab0，能否得到a0或 b0？,不一定！因为 ab|a|b|cosa，b0，所以|a|0或|b|0或cosa，b0.即a0或b0或ab.,追问(2)对于三个均不为零的实数a，b，c，若abac，则bc.对于非零向量a，b，c，由abac，能得到bc吗？,不一定！,由ab=ac，有a(bc）0.,从而有bc或a(bc）.,追问(3)对于三个均不为零的数a，b，c，若abc，则 或.那么对于向量a，b，若abk，能写成 或 吗？,不能！因为没有定义向量的除法运算.,k,k,追问(4)对于三个均不为零的数a，b，c，有(ab)ca(bc).对于向量a，b，c，(ab)ca(bc)成立吗？,不一定！两个向量的数量积为一个实数，(ab)c和a(bc)分别表示与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等.,向量的数量积运算没有结合律.,问题3 用空间向量的数量积运算，可以解决空间中的哪些问题？,追问(1)平面向量的数量积运算可以解决哪些问题？,（1）求线段长度(距离)：,（2）求夹角：,（3）证明垂直：,追问(1)平面向量的数量积运算可以解决哪些问题？,（1）求线段长度(距离)：,（2）求夹角：,（3）证明垂直：,把所求线段看成一个向量的模，并用其它已知向量表示它，再用数量积运算求该向量的模；,ab a b0.,cos a，b;,追问(2)空间中的这些问题是否也可以用它们解决?,（1）求线段长度(距离)：,（2）求夹角：,（3）证明垂直：,把所求线段看成一个向量的模，并用其它已知向量表示它，再用数量积运算求该向量的模；,ab a b0.,cos a，b;,问题4 如右图，在平行六面体ABCDABCD中，AB=5，AD=3，AA=7，BAD=60，BAA=DAA=45.求：(1)；(2)AC的长（精确到0.1）.,追问(1)如何计算？它们的长度，夹角是多少？,AB，AD的长度和夹角均已知，AB5，AD3，BAD=60.,解：(1),追问(2)为了求AC的长，应该用哪些向量表示？为什么？如何表示？,可以根据已知条件与平行四边形法则，用 来表示，因为它们的模长和夹角均已知，可以进行数量积运算.,(2),用已知向量表示所求向量，再由数量积运算求模长，是立体几何中求线段长度的常用向量方法.,问题5 如右图，m，n是平面内的两条相交直线.如果lm，ln，求证：l平面;,追问(1)直线和平面垂直的定义是什么？,如果直线l和平面内的任意一条直线都垂直，则直线l垂直于平面.,追问(2)如何用向量方法证明l和平面内任意一条直线垂直？,