高二【数学（人教A版）】空间向量及其线性运算-2课件.pptx

空间向量及其线性运算,年 级：高二 学 科：数学（人教A版）主讲人：李翥 学 校：北京市第五中学,问题1 我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念和线性运算吗？,追问(1)平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？,平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，,记作 或|a|.,空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，,记作 或|a|.,追问(2)如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？,(1)有向线段,(1)有向线段,a,(2)字母 a，b，c，,(3)坐标表示：a(x，y),(2)字母 a，b，c，,(3)坐标表示：a(x，y，z),a,c,b,追问(3)从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念.你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？,零向量：,单位向量：,相等向量：,相反向量：,共线向量：,模为 0 的向量，记作 0；零向量的方向任意；,模为 1 的向量；,模和方向都相同的两个向量，记作 ab；,模相同，方向相反的两个向量，记作ab；,零向量：,单位向量：,相等向量：,相反向量：,共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作 ab；,规定，零向量和任意向量共线.,共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 ab；,规定，零向量和任意向量共线.,问题2 在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算.你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？,追问(1)平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运算？,平面向量的线性运算有加法、减法和数乘运算.先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律.,追问(2)平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则吗？,(1)加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算.,法则：三角形和平行四边形法则；,b,实数与平面向量a的积是一个向量，记作a，其长度和方向规定如下：|a|a|；若 0，a与a的方向相同；若 0，a与a的方向相反；若0，a0.,(2)数乘运算：,平面向量的线性运算,空间向量的线性运算,a,b,(1)加、减运算：求两个空间向量的和与差的运算.,法则：三角形和平行四边形法则；,(1)加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算.,法则：三角形和平行四边形法则；,b,实数与平面向量a的积是一个向量，记作a，其长度和方向规定如下：|a|a|；若 0，a与a的方向相同；若 0，a与a的方向相反；若0，a0.,(2)数乘运算：,实数与空间向量a的积是一个向量，记作a，其长度和方向规定如下：|a|a|；若 0，a与a的方向相同；若 0，a与a的方向相反；若0，a0.,(2)数乘运算：,追问(3)平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间向量线性运算的运算律吗？,(3)运算律：,交换律：a+bb+a；结合律：a+(b+c)(a+b)+c，(a)()a；分配律：(+)aa+a，(a+b)a+b.,(3)运算律：,(3)运算律：,交换律：a+bb+a；结合律：a+(b+c)(a+b)+c，(a)()a；分配律：(+)aa+a，(a+b)a+b.,交换律：a+bb+a；结合律：a+(b+c)(a+b)+c，(a)()a；分配律：(+)aa+a，(a+b)a+b.,追问(4)空间向量线性运算运算律的证明，和平面向量有哪些异同？,交换律：a+bb+a；结合律：a+(b+c)(a+b)+c，(a)()a；分配律：(+)aa+a，(a+b)a+b.,(3)运算律：,(3)运算律：,交换律：a+bb+a；结合律：a+(b+c)(a+b)+c，(a)()a；分配律：(+)aa+a，(a+b)a+b.,追问(5)如何证明空间向量的加法结合律呢？,a,c,b,追问(5)如何证明空间向量的加法结合律呢？,a,c,b,在平行六面体ABCDABCD中，记,则 a+(b+c),(a+b)+c,所以有：a+(b+c)(a+b)+c.,a，b，c.,一般地，对于三个不共面的向量 a，b，c，以任意点 O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则 a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.,追问(5)如何证明空间向量的加法结合律呢？,a,c,b,问题3 平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中的相关问题呢？,追问(1)你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？,对任意两个平面向量 a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab.,对任意两个空间向量 a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab.,追问(1)你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？,如右图，O是直线 l上一点，在直线 l上取非零向量 a，我们把与向量 a平行的非零向量称为直线 l的方向向量.,对于直线 l上任意一点 P，由向量共线的充要条件可知，存在唯一确定的实数，使得=a.也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.,追问(2)任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？,任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面.,a,b,c,p,如何判断三个向量是否共面呢？,追问(3)你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？,a,b,p,pxa+yb,若向量 a，b是平面内两个不共线的向量，则内任意一个向量 p，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得：pxa+yb.,追问(3)你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系吗？,a,b,p,若 p在内，则有 pxa+yb；,p,若 pxa+yb，则 p在内.,若向量 a，b是平面内两个不共线的向量，则内任意一个向量 p，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得：pxa+yb.,两个向量 a，b不共线，那么向量 p与向量 a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使得：pxa+yb.,空间向量共面的充要条件,A,B,C,