高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI第2课时等比数列的性质及应用第一章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质.(逻辑推理)2.能够运用等比数列的性质解决有关问题.(数学运算)3.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题.(数学建模)思维脉络等比数列的性质及应用൞等比数列的性质性质的应用运用等比数列解决实际问题课前篇自主预习激趣诱思波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺术品”,被人们称为谢尔宾斯基三角形,如图所示.我们来数一数图中那些白色的同一类三角形的个数,可以得到一列数1,3,9,27,…,这是一个等比数列.你能否类比等差数列{an}的性质:“若m+n=p+q,那么am+an=ap+aq”,得出等比数列中类似的性质?知识梳理等比数列{an}的常用性质1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am·an=ap·aq.特例:若m+n=2p(m,n,p∈N+),则am·an=𝑎𝑝2.2.an=am·qn-m(m,n∈N+).3.在等比数列{an}中,每隔k项取出一项,取出的项按原来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列,公比为qk+1.4.数列{c·an}(c≠0),{|an|},{an·bn}({bn}也是等比数列),{𝑎𝑛2},ቄ1𝑎𝑛ቅ等也是等比数列.5.a1an=a2an-1=…=aman-m+1.注意等式成立的前提和角标规律名师点析等比数列{an}的增减性(1)当q>1,a1>0或01,a1<0或00时,{an}是递减数列.(3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.微判断(1)等比数列{an}中,若公比q<0,则{an}一定不是单调数列.()(2)若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}是等比数列.()(3)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等比数列.()√××微练习(1)在等比数列{an}中,a2a6a10=1,则a3a9=.(2)在等比数列{an}中,a4=7,a6=21,则a12=.答案(1)1(2)567解析(1) a2a10=𝑎62,∴a2a6a10=𝑎63=1,∴a6=1,∴a3a9=𝑎62=1.(2)设等比数列{an}的公比为q,则𝑎6𝑎4=q2=3,故a12=a4·q8=7×34=567.课堂篇探究学习探究一等比数列通项公式的推广应用例1已知等比数列{an}中.(1)若a4=2,a7=8,求an;(2)若{an}为递增数列,且=a10,2(an+an+2)=5an+1,求通项公式an.解(1) 𝑎7𝑎4=q7-4=82,即q3=4,∴q=ξ43,∴an=a4·qn-4=2·(ξ43)n-4=2·(223)n-4=223𝑛-53(n∈N+).𝑎52(2)由𝑎52=a10=a5·q10-5,且a5≠0,得a5=q5,即a1q4=q5,又q≠0,∴a1=q.由2(an+an+2)=5an+1得,2an(1+q2)=5qan, an≠0,∴2(1+q2)=5q,解得q=12或q=2. a1=q,且{an}为递增数列,∴...
