高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI第2课时等差数列前n项和的综合应用第一章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.(逻辑推理)2.掌握等差数列前n项和的最值的求法.(数学运算)3.掌握等差数列各项绝对值的和的求法.(数学运算)思维脉络等差数列前n项和的综合应用൞等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的最值等差数列各项的绝对值的和课前篇自主预习激趣诱思等差数列的前n项和公式是一个关于n的函数,那么这个函数和二次函数有什么关系呢?等差数列的前n项和公式又具有什么独特的性质呢?这一节课我们就来研究一下这些问题.知识梳理一、等差数列前n项和的函数特征名师点析1.等差数列{an}的前n项和Sn,有下面几种常见变形:(1)Sn=n·a1+an2;(2)Sn=d2n2+(a1-d2)n;(3)Snn=d2n+(a1-d2)({Snn}是公差为d2的等差数列).2.求等差数列前n项和最值的方法(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法来求其前n项和的最值,但要注意n∈N+,结合二次函数图象的对称性来确定n的值,更加直观.(2)通项法:当a1>0,d<0,൜𝑎𝑛≥0,𝑎𝑛+1≤0时,Sn取得最大值;当a1<0,d>0,൜𝑎𝑛≤0,𝑎𝑛+1≥0时,Sn取得最小值.3.求等差数列{an}的前n项的绝对值之和,关键是找到数列{an}的正负项的分界点.微判断(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.()(2)等差数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn,则数列{an}的公差为2A.()√×微练习1等差数列{an}的前n项和Sn=n2-3n,则其最小值为.答案-2解析由Sn=n2-3n=(n-32)2-94,可知当n=1或2时,Sn的最小值为-2.微练习2已知在公差d<0的等差数列{an}中,S8=S18,则此数列的前多少项和最大?解设f(n)=Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2d=𝑑2n2+ቀ𝑎1-𝑑2ቁn.因为S8=S18,d<0,所以抛物线f(x)的对称轴是直线x=13,且抛物线开口向下,故当n=13时,f(n)有最大值,即数列{an}的前13项和最大.二、等差数列{an}的前n项和Sn的性质1.若{an}是等差数列,则{𝑆𝑛𝑛}也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公差是{an}的公差的12.2.若Sm,S2m,S3m分别为公差是d的等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成公差是m2d的等差数列.3.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质:(1)若项数为2n,则S偶-S奇=nd,𝑆奇𝑆偶=𝑎𝑛𝑎𝑛+1.(2)若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,𝑆奇𝑆偶=𝑛𝑛-1.4.两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为𝑎𝑛𝑏𝑛=𝑆2𝑛-1𝑇2𝑛-1.an是中间项微思考若{an}是公差为d的等差数列,...
