11 卢翔 耀华中学 “杨辉三角”与二项式系数的性质.pptx

“杨辉三角”与二项式系数的性质,高二年级 数学,主讲人 卢翔,天津市耀华中学,天津市春季学期中小学精品课程资源,用计算器计算 展开式的二项式系数并填入下表.,探究,天津市春季学期中小学精品课程资源,用计算器计算 展开式的二项式系数并填入下表.,探究,天津市春季学期中小学精品课程资源,通过计算填表，你发现了什么规律？,天津市春季学期中小学精品课程资源,天津市春季学期中小学精品课程资源,我们可以从中发现，每一行的系数具有对称性.除此之外,还有什么规律呢？,天津市春季学期中小学精品课程资源,上表中蕴含着许多规律,例如：在同一行中,每行的两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；,天津市春季学期中小学精品课程资源,在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.,天津市春季学期中小学精品课程资源,事实上,设表中任一不为1的数为,那么它肩上的两个数分别为 及,容易证明：,此式是二项式系数的性质，也是组合数的性质.,天津市春季学期中小学精品课程资源,我们还可以从中发现什么规律呢？,规律是什么？为什么？,天津市春季学期中小学精品课程资源,我们还可以从中发现什么规律呢？,规律是什么？为什么？,天津市春季学期中小学精品课程资源,我们还可以从中发现什么规律呢？,规律是什么？为什么？,天津市春季学期中小学精品课程资源,我们还可以从中发现什么规律呢？,规律是什么？为什么？,天津市春季学期中小学精品课程资源,根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：,一般地，,天津市春季学期中小学精品课程资源,根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：,一般地，,天津市春季学期中小学精品课程资源,根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：,一般地，,如何证明这个规律呢？,实际上，上述等式我们可以用已有的性质进行证明 根据,天津市春季学期中小学精品课程资源,天津市春季学期中小学精品课程资源,我们还可以从中发现什么规律呢？,实际上，上述等式我们可以用已有的性质进行证明 根据,天津市春季学期中小学精品课程资源,实际上，上述等式我们可以用已有的性质进行证明 根据,天津市春季学期中小学精品课程资源,实际上，上述等式我们可以用已有的性质进行证明 根据,天津市春季学期中小学精品课程资源,实际上，上述等式我们可以用已有的性质进行证明 根据,天津市春季学期中小学精品课程资源,实际上，上述等式我们可以用已有的性质进行证明 根据,天津市春季学期中小学精品课程资源,天津市春季学期中小学精品课程资源,天津市春季学期中小学精品课程资源,事实上，这个表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里已经出现了.所不同的只是这里的表用阿拉伯数字表示，在那本书里是用汉字表示（如右图）.我们称这个表为杨辉三角.,天津市春季学期中小学精品课程资源,杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有详解九章算法日用算法和杨辉算法.在编写这些算书时，杨辉广泛引用古代数学典籍，使得我们能够了解许多已经失传的数学方法.杨辉在详解九章算法里指出，杨辉三角这种方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约11世纪）曾用过，由此可以推断，我国发现这个表不晚于11世纪.,“释锁”和开方有关，杨辉三角原名为“开方作法本源图”，也有人称为“乘方求廉图”，在我国古代用来作为开方的工具.,天津市春季学期中小学精品课程资源,在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（B.Pascal，16231662)首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.,天津市春季学期中小学精品课程资源,在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具，像开方问题、数列问题等.正因为杨辉三角中的数与开方、解方程、组合数学、概率论都有密切的关系，所以历代数学家从不同角度研究它的性质.,天津市春季学期中小学精品课程资源,杨辉三角中的五句话，前三句“左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉”分别说明了图中数字代表的意义，后两句“以廉乘商方，命实而除之”说明了如何应用各行系数进行开方.,天津市春季学期中小学精品课程资源,杨辉三角中的五句话，前三句“左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉”分别说明了图中数字代表的意义，后两句“以廉乘商方，命实而除之”说明了如何应用各行系数进行开方.,大家可以结合资料，探究一下开方算法的具体操作及其中蕴含的算法思想，感受我国古代数学的独特风格.,天津市春季学期中小学精品课程资源,对于 展开式的二项式系数 我们还可以从函数角度来分析它们.可看成是以 r 为自变量的函数 f(r)，其定义域是0，1，2，n.对于确定的 n，我们还可以画出它的图象.,天津市春季学期中小学精品课程资源,对于 展开式的二项式系数 我们还可以从函数角度来分析它们.可看成是以 r 为自变量的函数 f(r)，其定义域是0，1，2，n.对于确定的 n，我们还可以画出它的图象.,例如，当 n=6 时，其图象是7个孤立点，如图所示,天津市春季学期中小学精品课程资源,分别画出 n=7，8，9 时的函数图象，能看出它们有哪些异同吗？,天津市春季学期中小学精品课程资源,n=7时,分别画出 n=7，8，9 时的函数图象，能看出它们有哪些异同吗？,天津市春季学期中小学精品课程资源,