第一章　1.2　数列的函数特性、递推公式.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第一章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,1.能从函数的单调性方面研究数列的特性,并能画出有规律的简单数列的图象.(逻辑推理、直观想象)2.理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题.(逻辑推理),课前篇 自主预习,激趣诱思,斐波那契,意大利著名数学家.保存至今的斐波那契著作有5部,其中影响最大的是1202年在意大利出版的算盘全书.算盘全书中有一个著名的兔子繁殖问题:如果一对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄),而每一对子兔在出生后第三个月里又能生一对兔子.试问一对兔子50个月后会有多少对兔子?从第1个月开始,以后每个月的兔子总对数是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,这就是著名的斐波那契数列.这个数列的规律是递推关系:Fn=Fn-1+Fn-2(n2,nN+).其中Fn表示第n个月的兔子的总对数.那么什么是递推关系呢?,知识梳理,一、数列的单调性一般地,一个数列an,如果从第2项起,每一项都大于它的前一项,即an+1an,那么这个数列叫作递增数列.,注意nN+,如果从第2项起,每一项都小于它的前一项,即an+1an,那么这个数列叫作递减数列.如果数列an的各项都相等,那么这个数列叫作常数列.,注意nN+,名师点析1.数列的单调性可以借助数列对应的图象直观理解,数列是一种特殊的函数,可以把数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数;2.数列的图象是散点图.,微判断(1)如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列.()(2)无穷数列不可能是常数列.(),微练习下列叙述正确的是()A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B.数列0,1,2,3,可以表示为nC.数列0,1,0,1,是常数列,答案 D,二、数列的递推公式,如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的递推公式.,不是所有的数列都能写出递推公式,名师点析通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.,微练习设数列an满足a1=1,an=1+(nN+,n1),则a3=.,课堂篇 探究学习,例1作出下列数列的图象,并根据图象判断数列的单调性.(1)数列an的通项公式是an=2n+3;(2)数列bn的通项公式是,解(1)作图如下:,由图知数列an是递增数列.,(2)作图如下:,由图知数列bn是递减数列.,反思感悟数列的单调性除了画出散点图进行判断外,还可以根据数列单调性的定义,利用an+1与an的大小进行判断.,变式训练1已知数列an的通项公式为an=-n2+2n-2.画出数列an的图象,并判断其单调性.,解 作图如下:,由图知数列an为递减数列.,答案 D,解析 结合函数的单调性,要使an递增,则应有 解得2a3,故选D.,反思感悟利用数列an的单调性解决问题时,要结合函数单调性的知识,同时要注意数列本身的特性,如n的取值是正整数.,变式训练2已知数列an满足an=(nN+),若对于任意nN+都有anan+1,则实数a的取值范围是.,角度1由数列的递推公式求数列的项,例3若数列an满足a1=2,an+1=,nN+,求a2 021.,反思感悟数列的递推公式反映的是数列相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式,已知n的值即可得到相应的项,而递推公式则要已知首项(或前几项),才可依次求得其他的项.若求项数很大的项,则应考虑数列是否具有某种规律性.,变式训练3(多选题)已知数列an中,a1=3,an+1=-,能使an=3的n可以为()A.22B.24C.26D.28,答案 AD,所以数列an是周期为3的数列,故a22=a28=3.,角度2由数列的递推公式求通项公式例4(1)对于任意数列an,等式:a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=an(n2,nN+)都成立.试根据这一结论,完成问题:已知数列an满足:a1=1,an+1-an=2,nN+,求数列an的通项公式;,思想方法函数思想在数列最值问题中的应用典例(1)已知数列an满足an=n2-5n-6,nN+.数列中有哪些项是负数?当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.,(2)已知数列an的通项公式an=(n+1)(nN+),试问数列an有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.,思路分析(1)根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;根据二次函数的性质即可求出.,(1)解 an=n2-5n-60,解得0n6.nN+,数列中第1,2,3,4,5项为负数,即-10,-12,-12,-10,-6.,当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-ana11a12,数列中有最大项,最大项为第9,10项,反思感悟求数列的最大(小)项的两种方法(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集1,2,n这一条件.,变式训练若已知数列的通项公式an=,nN+,试求该数列an的最小项.,1.若数列an满足an=3n,则数列an是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.以上都不对答案 A解析 an+1-an=3n+1-3n=23n0,an+1an,即an是递增数列.,2.数列2,4,6,8,10,的递推公式是()A.an=an-1+2(n2)B.an=2an-1(n2)C.a1=2,an=an-1+2(n2)D.a1=2,an=2an-1(n2)答案 C解析 选项A和B中没有给出具体的某一项,无法递推;选项D中a1=2,a2=4,a3=8,不合题意.故选C.,3.已知an=n2-2n+5,则数列an的最小值为.答案 4解析 由an=n2-2n+5=(n-1)2+4可知,当n=1时,an的最小值为a1=4.,4.已知数列an中,an+1=2an对nN+成立,且a3=12,则a1=.答案 3解析 a3=2a2=12,a2=6,a2=2a1=6,a1=3.,5.已知数列an的首项a1=1,an+1=(n=1,2,3,),则a4=,猜想其通项公式是.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,