第五章　1.1　利用函数性质判定方程解的存在性.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第五章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课前篇 自主预习,激趣诱思,请观察右图,这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象),由于图象中有一段被墨水污染了,现在有人想了解一下当天7 h到11 h之间有无可能出现温度是0,你能帮助他吗?,知识点拨,一、函数的零点1.代数定义:使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.2.几何定义:f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.,名师点析 1.函数的零点是一个实数,而不是一个点.例如,函数f(x)=x+1的零点是-1,而不是(-1,0).2.并不是所有的函数都有零点,如f(x)=1,f(x)=x2+1就没有零点.3.若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.4.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的解,也就是函数y1=f(x)与y2=g(x)的图象交点的横坐标.,微练习函数f(x)=x2-1的零点是()A.(1,0)B.(1,0)C.0 D.1解析解方程f(x)=x2-1=0,得x=1,因此函数f(x)=x2-1的零点是1.答案D,二、零点存在定理若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)f(b)0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点.即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.,名师点析 1.定理要求具备两个条件:(1)函数在区间a,b上的图象是一条连续的曲线;(2)f(a)f(b)0.3.如果单调函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续的曲线,并且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点,即存在唯一的x0(a,b),使得f(x0)=0,这个x0也就是方程f(x)=0的解.,微判断判断说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.函数y=f(x)的图象是在闭区间a,b上的一条连续不断的曲线.若f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.()答案,微练习函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上()A.-2,-1B.-1,0C.0,1 D.1,2解析因为f(-2)=-110,f(1)=40,f(2)=130,所以f(-1)f(0)0.所以f(x)的零点在区间-1,0上.答案B,课堂篇 探究学习,例1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+log3x;(3)f(x)=4x-16.分析可通过解方程f(x)=0求得函数的零点.,(3)存在.令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函数的零点为2.,反思感悟 因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点.,变式训练 1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.,解由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的解.,所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).令log2(-2x+1)=0,得x=0.所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.,例2判断下列函数零点的个数:(1)f(x)=(x2-4)log2x;(2)f(x)=x2-;(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.,解(1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=2或x=1.又因为函数定义域为(0,+),所以-2不是函数的零点,故函数有1和2两个零点.,由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数f(x)只有一个零点.,(3)(方法一)f(0)=1+0-2=-10,f(x)在(0,2)上必定存在零点.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+)上单调递增,故f(x)有且只有一个零点.(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象,如图所示.,由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.,反思感悟 判断函数零点个数的常用方法(1)解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.(2)直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数.(3)f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象交点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.(4)若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.,变式训练 2(1)若abc0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是()A.0B.1C.2D.1或2(2)判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数.,(1)解析b2=ac,方程ax2+bx+c=0的判别式=b2-4ac=b2-4b2=-3b2.abc0,b0.0.故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0.答案A,(2)解(方法一)令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=3-x.在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示.由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点.,(方法二)因为f(3)=ln 30,f(2)=-1+ln 2=ln 0,所以f(3)f(2)0,说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+)上单调递增,所以原函数只有一个零点.,A.(1,2B.1,+)C.1,2)D.1,2,答案B,例4已知a是实数,函数f(x)=2|x-1|+x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是.分析把函数f(x)的两个零点问题转化为函数y=2|x-1|+x与y=a的图象有且仅有两个交点的问题,画出两个函数的图象,然后利用数形结合思想求出参数a的范围.,解析函数f(x)=2|x-1|+x-a有且仅有两个零点,即函数y=2|x-1|+x与y=a的图象有且仅有两个交点.分别作出函数y=2|x-1|+x与y=a的图象,如图所示.,由图易知,当a1时,两函数的图象有且仅有两个不同的交点,故实数a的取值范围是(1,+).,答案(1,+),反思感悟 已知函数有零点(方程有根)求参数的方法(1)直接法:根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围.(2)数形结合法:先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)(h(x),g(x)的图象易画出),在同一平面直角坐标系中画出函数h(x),g(x)的图象,然后利用数形结合思想求解.,变式训练 3(2020福建厦门双十中学高一检测)已知关于x的函数f(x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)上存在零点,则(),解析显然a0,f(x)=3ax-1-2a在(-1,1)上单调,且存在零点,f(-1)f(1)0,即(-3a-1-2a)(3a-1-2a)=(-5a-1)(a-1)0,答案C,一元二次函数的零点综合问题典例 已知一元二次函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5.(1)当函数f(x)有两个不同零点时,求k的取值范围;(2)若-1和-3是函数的两个零点,求k的值;(3)若函数的两个不同零点是,求2+2关于k的关系式h(k).分析本题考查对一元二次函数零点的理解及零点的性质.本题中的函数f(x)是一元二次函数,因此其零点的判断和零点的性质问题可以转化为一元二次方程解的判断或解的性质.,解(1)令f(x)=0,得x2-(k-2)x+k2+3k+5=0.由=(k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-160,知3k2+16k+160,即(3k+4)(k+4)0,(2)-1和-3是函数f(x)的两个零点,-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个解.,经检验,k=-2符合题意,k=-2.,(3),是函数f(x)的两个不同零点,是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实数根,+=k-2,=k2+3k+5.2+2=(+)2-2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6.,反思感悟 1.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个解是x1,x2,也可以说x1,x2是f(x)=ax2+bx+c(a0)的两个零点,2.本题中如果忽视,将会影响2+2的范围而导致出错.,1.如下图四个函数图象,在区间(-,0)内存在零点的函数是(),解析只有选项B中的函数图象与x轴的负半轴有交点.答案B,2.函数f(x)=log5(x-1)的零点是()A.0B.1C.2D.3解析令log5(x-1)=0,解得x=2,所以函数f(x)=log5(x-1)的零点是2,故选C.答案C,3.若x0是方程ln x+x=4的解,则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析设f(x)=ln x+x-4,则f(1)=-30,f(4)=ln 40,则x0(2,3).答案C,4.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为.解析当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点.当a0时,函数y=ax2-x-1为二次函数.函数y=ax2-x-1只有一个零点,方程ax2-x-1=0有两个相等的实数解.,5.判断下列函数在给定区间上是否存在零点,如果存在,求出零点的个数.(1)f(x)=x2-3x-18,x-4,7;(2)f(x)=x2+2x+1-,x(0,+).,解(1)令x2-3x-18=0,解得x=-3或x=6.又-3-4,7,6-4,7,f(x)=x2-3x-18在区间-4,7上有两个零点.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,