第三章　4.3　第1课时　空间中的角.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第三章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课前篇 自主预习,激趣诱思,地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为2326.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,如白羊座、狮子座、双子座等.,知识点拨,一、两条直线所成的角当两条直线a与b相交时,我们把两条直线交角中范围在 内的角叫作两条直线所成的角.当两条直线平行时,规定它们所成的角为0.,当两条直线a与b是异面直线时,在空间任取一点O,过点O作直线a和b,使得aa,bb,把a,b所成的角叫作异面直线a与b所成的角(如图).,名师点析不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两异面直线所成角的范围是,而两个向量夹角的范围是0,事实上,两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.,微练习若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线l1与l2所成的角的余弦值等于(),答案 B,二、直线与平面所成的角,名师点析1.平面的一条斜线与这个平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的投影所成的锐角.2.若是一个锐角,则=-;若是一个钝角,则=-.,微练习若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120,则直线l与平面所成的角等于()A.120B.60C.150D.30答案 D,三、两个平面所成的角一般地,已知n1,n2分别为平面,的法向量,则二面角-l-的平面角与两法向量所成角相等(如图(1)或互补(如图(2).,名师点析(1)二面角的取值范围是0,.(2)利用向量求二面角的平面角有两种方法.几何法:若AB,CD分别在二面角-l-的两个半平面内,且是与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 的夹角(或其补角)(如图1).向量法:设n1,n2是二面角-l-的两个半平面,的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图2).,微练习,A.120B.150C.60D.30或150,答案 B,课堂篇 探究学习,例1如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,AB=BC=AA1,ABC=90,E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成的角.,分析建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的夹角即得直线EF和BC1所成的角.,解 以B为原点,分别以直线BA,BC,BB1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(如右图).,反思感悟 1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.(1)建立适当的空间直角坐标系.(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.,2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角.(2)范围:异面直线所成角的范围是,故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,应取其绝对值.,变式训练1如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.,例2如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.,分析(1)线面平行的判定定理MN平面PAB.(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角直线AN与平面PMN所成角的正弦值.,又ADBC,故TNAM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.,(2)解 如图,取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AEBC,从而AEAD,反思感悟 若直线l与平面的夹角为,利用法向量计算的步骤如下:,变式训练2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为(),答案 B,例3如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,PA平面ABCD,ABC=60,E,F分别是BC,PC的中点.(1)求证:AEPD;(2)若PA=AB=2,求二面角E-AF-C的余弦值.,(1)证明由四边形ABCD为菱形,ABC=60,可得ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AEBC.又BCAD,因此AEAD.因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE.而PA平面PAD,AD平面PAD,且PAAD=A,所以AE平面PAD.又PD平面PAD,所以AEPD.,(2)解 由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又E,F分别为BC,PC的中点,反思感悟 用几何法求二面角,往往需要作出其平面角,这是几何中的难点之一;而用向量法求解二面角无须作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,经过简单运算即可.,变式训练3如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA1平面ABC;(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;,(1)证明四边形AA1C1C为正方形,AA1AC.平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,AA1平面ABC.(2)解 由(1)知A1AAC,AA1AB,由题意知,AB=3,BC=5,AC=4,则ABAC.如图,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4).,令z=3,则x=0,y=4,n=(0,4,3).同理可得,平面B1BC1的法向量为m=(3,4,0).,易错辨析误求了线面角的余角致错典例在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,AC=2BC,A1BB1C,求B1C与侧面A1ABB1所成角的余弦值.,1.平面的斜线l与它在这个平面上射影l的方向向量分别为a=(1,0,1),b=(0,1,1),则斜线l与平面所成的角为()A.30B.45C.60D.90,答案 C,解析 l与所成的角即为a与b所成的角(或其补角),所以=60.l与所成的角为60.,2.已知向量m,n分别是直线l和平面的方向向量和法向量,若cos=-,则l与所成的角为()A.30B.60C.120D.150答案 A解析 由已知得直线l的方向向量和平面的法向量所夹角为120,因此l与所成的角为30.,3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为()A.30B.45C.90D.60,答案 D,解析 以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2,M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,M(1,2,0),N(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),又是锐角,=60.异面直线AC和MN所成的角为60,故选D.,4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是(),答案 D,解析 如图,建立空间直角坐标系,5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是.,解析 建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),D(0,0,0).,6.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,ABBC,求二面角B1-A1C-C1的大小.,解 如图建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2).设AC的中点为M,连接BM.BMAC,BMCC1,n=(0,1,1).,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,