高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI3.2离散型随机变量的方差第六章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习核心素养思维脉络1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.(数学抽象)2.会用方差解决一些实际问题.(数学运算)课前篇自主预习激趣诱思A,B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出现次品数的概率如下表:A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10在上述问题中,由EX1和EX2的值能比较两台机床的产品质量吗?为什么?试想利用什么指标可以比较A,B两台机床的加工质量?知识点拨一、离散型随机变量的方差、标准差若离散型随机变量X的分布列如下表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值EX的偏离程度,而DX=E(X-EX)2=(xi-EX)2pi为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的方差,其算术平方根为随机变量X的标准差记作σ∑i=1nξDX随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差(标准差)越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小;反之,方差(标准差)越大,则随机变量的取值越分散.微练习1下列说法正确的有.(填序号)①离散型随机变量X的期望EX反映了X取值的概率的平均值;②离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的平均水平;③离散型随机变量X的期望EX反映了X取值的波动水平;④离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的波动水平.答案④解析①错误,因为离散型随机变量X的期望EX反映了X取值的平均水平.②错误,因为离散型随机变量X的方差DX反映了随机变量偏离于期望的平均程度.③错误,因为离散型随机变量的方差DX反映了X取值的波动水平,而随机变量的期望EX反映了X取值的平均水平.④正确,由方差的意义可知.微练习2已知随机变量X,DX=,则X的标准差为.19答案13解析X的标准差ξDX=ට19=13.二、方差的性质若X是随机变量,Y=aX+b也是随机变量,则DY=D(aX+b)=a2DX.名师点析特例方差意义a=0Db=0常数的方差等于0a=1D(X+b)=DX随机变量与常数之和的方差与随机变量的方差相同b=0D(aX)=a2DX常数与随机变量的乘积的方差是随机变量的方差的a2倍微练习已知随机变量ξ的方差Dξ=4,且随机变量η=2ξ+5,则Dη=.答案16解析由D(aξ+b)=a2Dξ,得Dη=D(2ξ+5)=22×Dξ=16.课堂篇探究学习探究一求离散型随机变量的方差例1袋中有20个大小相同的球,其中记为0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示...
