高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI4.1直线与圆锥曲线的交点第二章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习核心素养思维脉络1.掌握直线与圆锥曲线交点个数与位置关系之间的联系(相交,相切,相离).(数学抽象)2.会求直线与圆锥曲线的交点.(数学运算)3.通过交点个数会求参数问题.(数学运算)课前篇自主预习激趣诱思通过直线与圆锥曲线的交点个数能否判断直线与圆锥曲线的位置关系?将直线方程与圆锥曲线方程联立利用根的判别式的过程中需要注意哪些问题?知识点拨微练习1过点P(-1,0)的直线l与抛物线y2=5x相切,则直线l的斜率为()A.±ξ22B.±ξ32C.±ξ52D.±ξ62答案C微练习2直线y=bax+3与双曲线x2a2−y2b2=1的交点个数是()A.1B.2C.1或2D.0答案A课堂篇探究学习探究一直线和椭圆的交点问题例1离心率为ඥ55的椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),O是坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线x=ky+3与C交于相异两点M,N,求k的范围.解(1)依题意得൞𝑐=1,𝑐𝑎=ඥ55,𝑎2=𝑏2+𝑐2,解得a=ξ5,b=2,c=1,∴椭圆方程为𝑥25+𝑦24=1.(2)将直线与椭圆方程联立,消去x,得(𝑘𝑦+3)25+𝑦24=1,4(ky+3)2+5y2-20=0,即(4k2+5)y2+24ky+16=0,Δ=(24k)2-64(4k2+5)>0,∴k>1或k<-1,即k的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).反思感悟(1)判断直线与椭圆位置关系可利用方程联立通过根的判别式判断.(2)如涉及设直线方程时要注意直线斜率是否存在.变式训练1已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的离心率e=ඥ32,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求该椭圆的方程;(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且𝑄𝐴ሬሬሬሬሬԦ·𝑄𝐵ሬሬሬሬሬԦ=4.求y0的值.解(1)由e=𝑐𝑎=ඥ32,得3a2=4c2.再由c2=a2-b2,得a=2b.由题意可知12×2a×2b=4,即ab=2.解方程组൜𝑎=2𝑏,𝑎𝑏=2,得a=2,b=1.故椭圆的方程为𝑥24+y2=1.(2)由(1)可知A(-2,0).设点B的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k(x+2).于是A,B两点的坐标满足方程组൝𝑦=𝑘(𝑥+2),𝑥24+𝑦2=1.由方程组消去y并整理,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0.由-2x1=16𝑘2-41+4𝑘2,得x1=2-8𝑘21+4𝑘2.从而y1=4𝑘1+4𝑘2.设线段AB的中点为M,则点M的坐标为ቆ-8𝑘21+4𝑘2,2𝑘1+4𝑘2ቇ.以下分两种情况:①当k=0时,点B的坐标为(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是𝑄𝐴ሬሬሬሬሬԦ=(-2,-y0),𝑄𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(2,-y0).由𝑄𝐴ሬሬሬሬሬԦ·𝑄𝐵ሬሬሬሬሬԦ=4,得y...
