第二章　4.2　简单幂函数的图象和性质.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第二章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课前篇 自主预习,激趣诱思,同学们,请你写出:(1)棱长为x的正方体体积y;(2)面积为x的正方形的边长y.,幂函数在生活、建筑、军事等多个领域都有着重要的应用.那么幂函数如何定义?它的图象和性质是怎样的呢?,知识点拨,一、幂函数的定义一般地,形如y=x(为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.要点笔记 1.幂值前面的系数是1,否则不是幂函数,如函数y=5 就不是幂函数.2.幂函数的定义域是使x有意义的所有x的集合,因的不同,定义域也不同.,微练习在函数y=,y=3x2,y=x2+2x中,是幂函数的为.(填序号),解析函数y=x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=x(R)的形式,所以它不是幂函数.,答案,二、幂函数的图象和性质1.常见的五种幂函数的图象,可以发现任一幂函数在第一象限内必有图象,在第四象限内无图象.,2.幂函数的性质,名师点析 幂函数y=x的上述性质可归纳如下:(1)当0时,图象都通过点(0,0),(1,1);在第一象限内,函数单调递增.(2)当0时,图象都通过点(1,1);在第一象限内,函数单调递减,图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.,微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限.()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).()答案(1)(2),微练习(1)函数y=的图象是(),(2)(2021重庆高一期末)已知点(3,)在幂函数f(x)的图象上,则f(x)在其定义域内是()A.增函数B.减函数C.奇函数 D.偶函数,答案(1)C(2)A,课堂篇 探究学习,例1函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x(0,+)时,f(x)单调递增,试确定m的值.分析由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x0时单调递增,可先利用幂函数的定义求出m的所有可能的值,再利用单调性确定m的值.,解根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3,或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+)上单调递增;当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+)上单调递减,不符合要求.故m=3.,要点笔记 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=x(为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.,变式训练 1如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,求实数m的取值.,解由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1,或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2.,例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为()A.cbaB.abcC.bcaD.cab,分析利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质,结合所给图象分析并判断a,b,c的大小关系.,解析由幂函数的图象特征,知c1,0b1.故cba.答案A,反思感悟 对于函数y=x(为常数)而言,其图象有以下特点:(1)恒过点(1,1).(2)当x(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x(1,+)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).(3)由幂函数的图象确定幂指数与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象,(4)当0时,幂函数在区间(0,+)上都单调递增;当0时,幂函数在区间(0,+)上都单调递减.,变式训练 2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是()A.nm0D.mn0,解析画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,nm0.故选A.,答案A,例3比较下列各组中两个数的大小:,分析(1)利用y=的单调性比较大小;(2)利用y=x-1的单调性比较大小.,反思感悟 1.比较幂大小的三种常用方法,2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.,例4已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g(x)的图象上,问当x满足什么条件时,有:(1)f(x)g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)g(x)?分析先利用幂函数的定义求出f(x),g(x)的解析式,再利用图象判断.,在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:(1)当x1或xg(x);(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);(3)当-1x1且x0时,f(x)g(x).,变式训练 3已知(0.71.3)m(1.30.7)m,求实数m的取值范围.,解根据幂函数y=x1.3的图象,知当01时,y1,1.30.71.于是有0.71.30时,随着x的增大,函数值y也增大,所以m0.故实数m的取值范围为(0,+).,数形结合法求解含幂的不等式,要点笔记 已知xm与xn的大小,求x的取值范围时,应借助幂函数y=xm与y=xn的图象,利用数形结合的方法来解决.,(1)f(x)g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)g(x).,解设f(x)=x,g(x)=x.,f(x)=x2,g(x)=1.分别作出它们的图象,如图所示.由图象知,(1)当x(-,0)(1,+)时,f(x)g(x);(2)当x=1时,f(x)=g(x);(3)当x(0,1)时,f(x)g(x).,答案B,A.C2,C1,C3,C4B.C4,C1,C3,C2C.C3,C2,C1,C4D.C1,C4,C2,C3,答案D,3.幂函数f(x)=x3m-5(mN)在区间(0,+)上单调递减,且对定义域中的任意x,有f(-x)=f(x),则m等于()A.0B.1C.2D.3,解析幂函数f(x)=x3m-5(mN)在(0,+)上单调递减,则3m-50,即m.又mN,故m=0或m=1.f(-x)=f(x),y=f(x)是偶函数.当m=0时,f(x)=x-5是奇函数;当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,符合题意.,答案B,4.若幂函数f(x)的图象过点(2,4),则f(3)的值为()A.5B.6C.8D.9解析设幂函数f(x)=x(R),因为幂函数f(x)的图象过点(2,4),所以2=4,解得=2.所以f(x)=x2,所以f(3)=32=9.故选D.答案D,5.比较下列各组中两个值的大小:,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,