高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI4.2简单幂函数的图象和性质第二章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.(数学抽象)2.结合幂函数y=x,y=1x,y=x2,y=ξx,y=x3的图象,理解它们的变化规律.(直观想象)3.能利用幂函数的基本性质解决相关问题.(逻辑推理)课前篇自主预习激趣诱思同学们,请你写出:(1)棱长为x的正方体体积y;(2)面积为x的正方形的边长y.显然(1)y=x3;(2)y=ξ𝑥,即y=𝑥12.这两个函数都是幂函数.幂函数在生活、建筑、军事等多个领域都有着重要的应用.那么幂函数如何定义?它的图象和性质是怎样的呢?知识点拨一、幂函数的定义一般地,形如y=xα(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.要点笔记1.幂值前面的系数是1,否则不是幂函数,如函数y=5就不是幂函数.2.幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同,定义域也不同.x12微练习在函数①y=,②y=3x2,③y=x2+2x中,是幂函数的为.(填序号)解析函数y==x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是幂函数.答案①1x41x4二、幂函数的图象和性质1.常见的五种幂函数的图象可以发现任一幂函数在第一象限内必有图象,在第四象限内无图象.2.幂函数的性质幂函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数既不是奇函数,也不是偶函数奇函数单调性在R上是增函数在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0]上单调递减在R上是增函数在[0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递减公共点(0,0),(1,1)(1,1)名师点析幂函数y=xα的上述性质可归纳如下:(1)当α>0时,图象都通过点(0,0),(1,1);在第一象限内,函数单调递增.(2)当α<0时,图象都通过点(1,1);在第一象限内,函数单调递减,图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限.()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).()答案(1)×(2)×微练习(1)函数y=的图象是()𝑥32(2)(2021重庆高一期末)已知点(3,)在幂函数f(x)的图象上,则f(x)在其定义域内是()A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数ξ3解析(1) 函数y=𝑥32的定义域是[0,+∞),∴排除选项A和B. 32>1,∴选项C的图象正确.(2)设f(x)=xα(α∈R),则3α=...
