第二章　4.1　平面向量基本定理.pptx

4.1平面向量基本定理,课标阐释,1.理解基、正交分解、标准正交基的概念,并能判断两个向量是否是平面上的一组基.(数学抽象)2.掌握平面向量基本定理.(数学抽象)3.能运用平面向量基本定理和向量的线性运算解决有关问题.(数学运算),思维脉络,激趣诱思,知识点拨,情境1:在物理中,我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同方向的力.试想平面内的任意一向量是否可以分解为其他两个向量的和?情境2:导弹升空的某一时刻,速度可以分解成竖直向上和水平方向的两个分速度.,激趣诱思,知识点拨,平面向量基本定理如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数1,2,使a=1e1+2e2.不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基,记为e1,e2.若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为标准正交基.名师点析1.0向量不能与另外一个向量构成一组基.因为0与任一向量是共线的.2.平面向量的基不是唯一的.同一平面内的任何两个不共线的向量都可以作为一组基.这组基一旦确定,平面内任何一向量都可以用这一组基唯一表示.,激趣诱思,知识点拨,微思考1两个单位向量能作为一组基吗?解析不共线的两个单位向量能作为一组基.微思考2如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?为什么?答案不一定,当a与e1共线时可以表示,否则不能表示.,激趣诱思,知识点拨,微练习设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量中不能作为基的是.e1,e2;e1,2e1;e1,2e2;e2,2e2.解析由于e1,e2不共线,则e1,2e2不共线,所以中的向量组都可以作为基;因为e1与2e1共线,e2与2e2共线,所以中的向量组都不能作为基.故填.答案,探究一,探究二,探究三,当堂检测,对平面向量基本定理的理解例1给出下列命题:若向量e1,e2不共线,则空间中的任一向量a均可表示为a=1e1+2e2(1,2R);若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2线性表示;若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=1e1+2e2(1,2R)的形式.其中不正确命题的序号是.答案反思感悟 平面向量基本定理是指平面内任一向量均可用平面内的两个不共线向量线性表示,且表示方法是唯一的.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,变式训练1设e1,e2是平面向量的一组基,则下面四组向量中,不能作为一组基的是()A.2e1+e2和e2-e1B.3e1-2e2和4e2-6e1C.e1+2e2和e2+2e1D.e2和e1+e2解析B中,3e1-2e2=-(4e2-6e1),则3e1-2e2与4e2-6e1共线,不能作为一组基.答案B,探究一,探究二,探究三,当堂检测,用基表示向量,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,反思感悟 用一组基表示向量的注意事项平面内任一向量都可用一组基来表示,在表示过程中,主要结合向量的线性运算完成这种向量表示.注意以下几点:(1)通常选取有公共点的两个不共线向量作为基;(2)注意平面向量基本定理的应用;(3)注意a,b不共线,则0=0a+0b是唯一的;(4)充分利用首尾相连的向量所表示的等量关系;(5)利用同一向量的多种表示方法建立等量关系,也是常用技巧.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,延伸探究将本例中“M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“M是AB上靠近A的一个三等分点”,“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“N为OA的中点”,求BPPN的值.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,平面向量基本定理与线性运算的综合运用例3在ABC中,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,反思感悟 在三角形中,中线、重心等与向量的关系非常重要,一些结论的用处非常广泛,须熟记.例如,在ABC中,若M是重心,AD,BE,CF是三条中线,则下列结论都是成立的:,探究一,探究二,探究三,当堂检测,答案B,探究一,探究二,探究三,当堂检测,答案A,探究一,探究二,探究三,当堂检测,答案B,探究一,探究二,探究三,当堂检测,答案B,探究一,探究二,探究三,当堂检测,4.若a与b是一组基,p=a+mb,q=ma+2b,且p与q不能组成一组基,则实数m=.解析因为p与q不能组成一组基,所以pq,所以存在实数,使p=q,所以有a+mb=(ma+2b),即a+mb=ma+2b,