4.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质及应用.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第四章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课标阐释,思维脉络,1.掌握等比数列前n项和的性质及其应用.(数学抽象)2.能够运用学过的数列知识解决等差与等比数列的综合问题.(数学运算)3.能够运用等比数列的知识解决有关实际问题.(数学建模),课前篇 自主预习,【激趣诱思】某人准备购买一辆汽车,向银行贷款6万元,其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(即利息按月以复利计算,每期付款数额相同,一个月为一期,购买后一个月开始付款,以后每月付款一次),共付36期,月利率为0.457 5%,那么这个人每月还多少钱呢?,【知识梳理】,等比数列前n项和的性质公比为q的等比数列an的前n项和为Sn,关于Sn的性质常考的有以下四类:(1)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍是等比数列(此时an的公比q-1).(2)当n是偶数时,S偶=S奇q;当n是奇数时,S奇=a1+S偶q.(3)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm.(4)数列an为公比不为1的等比数列Sn=A-Aqn,A0,q0且q1.,微练习已知等比数列an的前3项和为1,前6项和为9,则它的公比q等于()A.B.1C.2D.4答案 C解析 S3=1,S6=9,S6-S3=8=a4+a5+a6=S3q3=q3,即q3=8,q=2.,课堂篇 探究学习,例1(1)在等比数列an中,若S2=7,S6=91,则S4=.(2)已知等比数列an共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+a2n-1)-(a2+a4+a2n)=80,则公比q=.(3)若数列an是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k等于.分析根据所给题目特征选择运用等比数列前n项和的性质求解.,解析(1)数列an是等比数列,且易知公比q-1,S2,S4-S2,S6-S4也构成等比数列,即7,S4-7,91-S4构成等比数列,(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)0,S4=28.,方法技巧等比数列前n项和的性质(1)若数列an为非常数列的等比数列,且其前n项和为Sn=Aqn+B(A0,B0,q0,q1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和为Sn=Aqn-A(A0,q0,q1),则该数列必为等比数列.(2)若等比数列an的前n项和为Sn,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特别地,如果公比q-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.(3)当等比数列an的项数为偶数时,偶数项的和与奇数项的和之比等于,(2)(2021云南楚雄高二质量检测)已知等比数列an共有32项,其公比q=3,且奇数项之和比偶数项之和少60,则数列an的所有项之和是()A.30B.60C.90D.120,答案(1)B(2)D解析(1)设S2=k,S4=3k,由数列an为等比数列(易知数列an的公比q-1),得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列.又S2=k,S4-S2=2k,S6-S4=4k.(2)设等比数列an的奇数项之和为S1,偶数项之和为S2,则S1=a1+a3+a5+a31,S2=a2+a4+a6+a32=q(a1+a3+a5+a31)=3S1.又S1+60=S2,则S1+60=3S1,解得S1=30,S2=90,故数列an的所有项之和是30+90=120.,例2已知Sn是无穷等比数列an的前n项和,且公比q1,1是 S2和 S3的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.(1)求S2和S3;(2)求数列an的前n项和;(3)求数列Sn的前n项和.分析先利用等差中项与等比中项求出S2与S3,进而求出a1与公比q,再写出Sn,根据Sn的特点求Sn的前n项和.,反思感悟 数列综合问题的关注点(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差与等比数列的通项公式、前n项和公式,以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.(2)利用等比数列前n项和公式时应注意公比q的取值,熟悉两种数列的性质,知道它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求解.,变式训练 2已知等差数列an和各项均为正数的等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5.(1)求an的通项公式;(2)求数列bn的前n项和.解(1)设等差数列an公差为d,等比数列bn公比为q,q0,因为a1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5,所以1+d+1+3d=10,q2=1+4d,d=2,q=3.因此an=1+(n-1)2=2n-1,bn=13n-1=3n-1.(2)数列bn的前n项和,例3某企业进行技术改造,有两种方案.甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计息,试比较两种方案,哪种方案净获利更多?(1.05101.629,1.31013.786,1.51057.665),方法技巧银行存款中的单利是等差数列模型,利息按单利计算,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和公式为S=P(1+nr);复利是等比数列模型,按复利计算的一种储蓄,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和公式为S=P(1+r)n.,变式训练 3(1)现存入银行8万元,年利率为2.50%,若采用1年期自动转存业务,则第5年末的本利和是()A.81.0253万元B.81.0254万元C.81.0255万元D.81.0256万元(2)李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1号开始,每个月的1号都存入100元,存期三年,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7.到期时,李先生一次可支取本息元.,答案(1)C(2)3 779.82解析(1)定期自动转存属于复利问题,5年末的本利和是8(1+2.50%)5=81.0255万元.(2)设第n个月存入的100元到期利息为an,则a1=1002.736,an是公差d=-1002.7的等差数列.数列an的前36项和S36=36a1+d=361002.736-18351002.7=179.82,3年共存入本金10036=3 600(元).到期一次可支取3 600+179.82=3 779.82(元).,分期付款问题求解策略典例“五一”期间,某商场为了促进商品销售,特定优惠方式,即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择,家用电器价格2 150元.第一种付款方式:购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付200元,并加付欠款利息,每月利息按复利计算,月利率1%;第二种付款方式:购买当天先付150元,以后每个月付款一次,10个月付清,每月付款金额相同,每月利息按复利计算,月利率1%.试计算两种付款方式每月所付金额及购买这件家电总共所付金额.(1.01101.105),解 第一种付款方式:购买时付出150元,则欠款2 000元,按要求共10次付清,则以后:第一次应付a1=200+2 0000.01=220(元);第二次应付a2=200+(2 000-200)0.01=200+1 8000.01=218(元);第n次应付an=200+2 000-(n-1)2000.01=200+20-(n-1)2(元).每次所付的款额顺次构成数列an,an是以220为首项,-2为公差的等差数列,10次付款总和为S10=10220+(-2)=2 200-90=2 110(元).所以实际共付2 110+150=2 260(元).,第二种付款方式:购买时付出150元,余款10个月后增值为2 000(1+1%)10.设每月付款x元.依题意可得x+x(1+1%)+x(1+1%)2+x(1+1%)9=2 000(1+1%)10.所以实际共付21010+150=2 250(元).,方法点睛假设贷款额为a,年(月)利率为p,采用“等额本息还款法”,每年(月)还款数为x,则有以下两种方法:可以把分期付款理解为零付整取,到最后一次付款时,一次冲掉应付款和利息,设每月等额还x元,则有等式:x+x(1+p)+x(1+p)2+x(1+p)n-1=a(1+p)n,可解得.,还可以理解为每次付款后冲掉部分应付款及相应利息.设每次还款x元,每次还款后欠款所组成的数列为an,则有a1=a(1+p)-x,a2=a1(1+p)-x=a(1+p)2-x1+(1+p),a3=a(1+p)3-x1+(1+p)+(1+p)2,an=a(1+p)n-x1+(1+p)+(1+p)2+(1+p)n-1.令an=0,则化归为第种情况.,1.已知等比数列an的前n项和为Sn,若S2=1,S4=4,则a7+a8=()A.40B.30C.27D.9答案 C解析 由于an是等比数列,所以S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6也成等比数列,其中S2=1,S4-S2=3,所以S6-S4=33=9,S8-S6=93=27,所以a7+a8=S8-S6=27.,2.已知项数为奇数的等比数列an的首项为1,奇数项之和为21,偶数项之和为10,则这个等比数列的项数为()A.5B.7C.9D.11答案 A,3.若等比数列an的前n项和Sn=2n-2+r,则r=.,4.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵数是前一天的3倍,则需要的最少天数n(nN*)为.答案 5解析 记第n天植树的棵数为an,则数列an是以2为首项,3为公比的等比数列.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,