4.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质及应用.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第四章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课标阐释,思维脉络,1.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.(逻辑推理)2.掌握等差数列前n项和的最值的求法.(数学运算)3.掌握等差数列各项绝对值的和的求法.(数学运算),课前篇 自主预习,【激趣诱思】等差数列的前n项和公式是一个关于n的函数,那么这个函数和二次函数有什么关系呢?等差数列的前n项和公式又具有什么独特的性质呢?这一节课我们就来研究一下这些问题.,一、等差数列前n项和的函数特征,名师点析(1)若a10,则数列的前面若干项为负数(或0),所以将这些项相加即得Sn的最小值.(2)若a10,d0,d0,则S1是Sn的最小项;若an0,d0,则S1是Sn的最大项.,微练习已知在公差d0的等差数列an中,S8=S18,则此数列的前多少项和最大?若S7=S18呢?因为S8=S18,d0,所以抛物线f(n)的对称轴是直线n=13,且抛物线开口向下,故当n=13时,f(n)有最大值,即数列an的前13项和最大.若S7=S18,则函数f(n)的对称轴是直线n=,当n=12或n=13时,f(n)最大,故前12项和与前13项和最大.,二、等差数列前n项和的性质(2)设等差数列an的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍构成等差数列,且公差为m2d.,微练习(1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为()A.5 B.4 C.3 D.2(2)在等差数列an中,其前n项和为Sn,S2=4,S4=9,则S6=.答案(1)C(2)15解析(1)设等差数列的公差为d,由题意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得d=3.(2)S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,4+(S6-9)=25,解得S6=15.,课堂篇 探究学习,例1(1)等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则数列an的前3m项的和S3m为.分析运用等差数列前n项和的性质解决问题.,解析(1)(方法1)在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,30,70,S3m-100成等差数列.270=30+(S3m-100),S3m=210.,方法技巧利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时,先利用已知条件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有时运算量大些).(2)如果利用等差数列前n项和的性质或利用等差数列通项公式的性质,可简化运算,为最优解法.(3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.,延伸探究 1一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,则前110项之和为.答案-110,例2在等差数列an中,Sn为前n项和,且a1=25,S17=S9,请问数列an前多少项和最大?,方法技巧一般地,在等差数列an中,若a10,d0,则其前n项和Sn有最小值,具体求解方法如下:(2)利用等差数列的性质,找出数列an中正、负项的分界项.当a10,d0时,前n项和Sn有最小值,可由an0且an+10,求得n的值.,变式训练 1在数列an中,an=3n-12,求数列an的前n项和的最小值,并指出何时取最小值.,分析先求出通项an,再确定数列中项的正负,去掉绝对值号,利用Sn求解.,方法技巧已知等差数列an,求|an|的前n项和的步骤(1)确定通项公式an;(2)根据通项公式确定数列an中项的符号,即判断数列an是先负后正,还是先正后负;(3)去掉数列|an|中各项的绝对值,转化为an的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,以直接利用数列an的前n项和公式;(4)将|an|的前n项和写成分段函数的形式.,延伸探究 3在本例中,若将条件改为“等差数列an的通项公式为an=3n-23”,求数列|an|的前n项和.,等差数列前n项和性质的灵活应用典例 项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.分析由于本题涉及等差数列的奇数项之和及偶数项之和,因此可以利用与奇、偶数项和的有关性质解题.,解(方法1)设此等差数列为an,公差为d,Sn为其前n项和,S奇,S偶分别表示奇数项之和与偶数项之和.由题意知项数为奇数,可设为(2n+1)项,则奇数项为(n+1)项,偶数项为n项,an+1为中间项.,又S2n+1=S奇+S偶=44+33=77,(2n+1)(a1+nd)=77.又a1+nd=an+1=11,2n+1=7.故这个数列的中间项为11,项数为7.,1.已知Sn是等差数列an的前n项和,且Sn=20,S2n=80,则S3n=()A.130B.180C.210D.260答案 B解析 因为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍然构成等差数列,所以20,60,S3n-80成等差数列,所以260=20+S3n-80,解得S3n=180.,答案 B,4.已知数列an为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+,则实数的值是.答案-1解析 Sn=(n+1)2+=n2+2n+1+,an为等差数列,1+=0,即=-1.,答案 75,6.(2021陕西咸阳高二期末)已知Sn为等差数列an的前n项和,a7=1,S4=-32.(1)求数列an的通项公式;(2)求Sn的最小值.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,