4.2.2等差数列的前n项和公式第二课时等差数列前n项和的性质及应用.pptVIP免费

第二课时等差数列前n项和的性质及应用题型一等差数列前n项和的性质[学透用活](1)若{an}是等差数列，则Snn也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的一半．(2)Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，且公差为m2d.(3)关于等差数列{an}奇数项与偶数项的性质：若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1；若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1.[典例1](1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为()A．130B.170C．210D.260(2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．[解析](1)利用等差数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．所以Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，即30＋(S3n－100)＝2(100－30)，解得S3n＝210.(2)因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝S2n＋12n＋1，即132－120＝132＋1202n＋1，解得n＝10.[答案](1)C(2)10[方法技巧]利用等差数列前n项和的性质解题时，一是要注意判断等差数列中的项数问题，二是注意整体思想在解题中的应用．[对点练清]1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是()A．5B.4C．3D.2解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，则5a1＋20d＝15，5a1＋d＋20d＝30，即5a1＋20d＝15，5a1＋25d＝30，解得d＝3，故选C.答案：C2．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列Snn的前10项和为________．解析：因为an＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝n3＋2n＋12＝n2＋2n，所以Snn＝n＋2，所以Snn是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75题型二等差数列前n项和的最值问题[学透用活][典例2]在等差数列{an}中，公差为d，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．[解]法一：由S9＝S17得9a1＋9×82d＝17a1＋17×162d，又a1＝25，∴d＝－2.则Sn＝25n＋nn－12×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169，故当n＝13时，Sn取得最大值，最大值为169.法二：由S9＝S17得9a1＋9×82d＝17a1＋17×162d，又a1＝25，∴d＝－2，则an＝25＋(－2)×(n－1)＝－2n＋27.令an＞0，则－2n＋27＞0，解得n＜13.5，即数列{an}的前13项均为正数，第13项以后均为负数，故数列{an}的前13项和最大，最大值为S13＝13×25＋...