3.3.2　从函数观点看一元二次不等式.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第3章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,1.能借助二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.(数学运算)2.借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(直观想象),课前篇 自主预习,情境导入,随着城市人口的急剧增加和人们生活水平的不断提高,道路上车辆日益增多,很多城市需要通过修建立交桥和高架道路形成多层立体的布局,以提高车速和通过能力.城市环线和高速公路网的连接也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导,保证交通的畅通.城市立交桥已成为现代化城市的重要标志.为了保证安全,交通部门规定,在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长的积,且车距不得小于半个车身长,假定车身长均为l m,当车速为60 km/h时,车距为1.44个车身长,那么在交通繁忙时,应规定最高车速为多少,才使此处的车流量最大?,知识点拨,从函数观点看一元二次不等式1.一元二次不等式的概念只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式不等式叫作一元二次不等式.,2.三个“二次”的关系,名师点析 1.解一元二次不等式时,必须注意二次项系数的符号,当a0,可转化为一元一次不等式组,微思考 1不等式x2-y20是一元二次不等式吗?提示 此不等式含有两个变量,根据一元二次不等式的定义,可知不是一元二次不等式.,微思考 2是否存在实数a使得一元二次不等式ax2+x-10的解集为R?若存在,写出实数a应满足的条件;若不存在,请说明理由.,提示 不存在.理由如下,结合二次函数图象可知,若一元二次不等式ax2+x-10的解集为R,则,解得a,所以不存在a使不等式ax2+x-10的解集为R.,微练习 不等式x2-2x-52x的解集是.,答案 x|x5,解析 由x2-2x-52x,得x2-4x-50,因为x2-4x-5=0的两根为-1,5,故x2-4x-50的解集为x|x5.,课堂篇 探究学习,例1解下列不等式:(1)2x2+7x+30;,(3)-2x2+3x-20.,解(1)因为=72-423=250,所以方程2x2+7x+3=0有两个不相等的实,(3)原不等式可化为2x2-3x+20,因为=9-422=-70,所以方程2x2-3x+2=0无实数根.又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.,反思感悟 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.,变式训练1解下列不等式:(1)2x2-3x-20;(2)x2-4x+40;(3)-x2+2x-30.,(2)=0,方程x2-4x+4=0的根是x1=x2=2,不等式x2-4x+40的解集为x|x2.(3)原不等式可化为x2-2x+30,由于0,方程x2-2x+3=0无解,不等式-x2+2x-30的解集为R.,例2已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x3,求关于x的不等式cx2+bx+a0的解集.,解(方法一)由不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x3可知,a0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,(方法二)由不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x3可知,a0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,所以ax2+bx+c=a(x-2)(x-3)=ax2-5ax+6a,则b=-5a,c=6a.故不等式cx2+bx+a0,即6ax2-5ax+a0,延伸探究本例中的条件不变,求关于x的不等式cx2-bx+a0的解集.,反思感悟已知以a,b,c为参数的不等式如ax2+bx+c0的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循:(1)根据解集来判断二次项系数的符号;(2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式;(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.,变式训练2已知一元二次不等式x2+mx-20的解集为x|x1,则不等式-2x2+x+m0的解集为()A.(-2,1)B.(-,-2)(1,+),答案 D,解析 由题意可知,一元二次方程x2+mx-2=0的两根分别为-2,1,由根与系数的关系可得-2+1=-m,解得m=1.所以不等式-2x2+x+m0,即-2x2+x+10,例3已知y=x2+ax+3-a,若x-2,2,y0恒成立,求实数a的取值范围.,延伸探究1本例条件不变,若y2恒成立,求实数a的取值范围.,延伸探究2将本例中的条件“y=x2+ax+3-a,x-2,2,y0恒成立”变为“不等式x2+2x+a2-30的解集为R”,求实数a的取值范围.,解(方法一)不等式x2+2x+a2-30的解集为R,函数y=x2+2x+a2-3的图象应在x轴上方,=4-4(a2-3)2或a0的解集为R,则a满足ymin=a2-40,解得a2或a-2.故a的取值范围为(-,-2)(2,+).,(方法三)由x2+2x+a2-30,得a2-x2-2x+3,即a2-(x+1)2+4,要使该不等式在R上恒成立,必须使a2大于-(x+1)2+4的最大值,即a24,故a2或a-2.故a的取值范围为(-,-2)(2,+).,反思感悟1.不等式ax2+bx+c0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:,2.不等式ax2+bx+c0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0时,3.ya恒成立aymax;ya恒成立aymin.,变式训练3当x0时,不等式2x2+ax+10恒成立,则实数a的取值范围是.,含参数的一元二次不等式的解法典例解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10.,解 当a=0时,原不等式可化为x1.当a0时,原不等式可化为(ax-1)(x-1)0.,点评解含参数的一元二次不等式的一般步骤,1.已知集合M=x|x2+x-20,N=-1,0,1,2,则MN的子集个数为()A.2B.4C.8D.16,答案 C解析 因为M=x|x2+x-20=x|-2x1,N=-1,0,1,2,所以MN=-1,0,1,所以MN的子集个数为23=8.故选C.,2.(2020四川成都七中高一月考)已知集合A=x|(x-1)(x+2)0,则AB=()A.x|-2x0B.x|1x2C.x|0 x1D.R,答案 A,解析 因为集合A=x|(x-1)(x+2)0=x|x1,所以AB=x|-2x0.故选A.,3.(2020湖北武汉月考)关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为x|-10的解集为()A.x|-22D.x|x1,答案 D,故b=-a,c=-2a.所以bx2-ax-c0可化为-ax2-ax+2a0,即x2+x-20,分解因式得(x+2)(x-1)0,解得x1,所以不等式的解集为x|x1.故选D.,4.(2020北京昌平临川学校高一月考)若关于x的不等式x2-3x+t0的解集是x|1xm,则m=,m+t=.,答案 24,解析 不等式x2-3x+t0的解集为x|1xm,1,m是方程x2-3x+t=0的两根,5.设x2-2x+a-80对任意x(1,3)恒成立,则a的取值范围是.,答案(-,5解析 x2-2x+a-80对任意x(1,3)恒成立,转化为a-x2+2x+8对任意x(1,3)恒成立.设y=-x2+2x+8,易知y在1,3上的最小值为5.故a(-,5.,6.解下列不等式:(1)x(7-x)12;(2)x22(x-1).,解(1)原不等式可化为x2-7x+120,因为方程x2-7x+12=0的两根为x1=3,x2=4,所以原不等式的解集为x|3x4.(2)原不等式可以化为x2-2x+20,因为判别式=4-8=-40,方程x2-2x+2=0无实根,而抛物线y=x2-2x+2开口向上,所以原不等式的解集为R.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,