3．2双曲线知识点一双曲线的定义(一)教材梳理填空(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．(2)焦点：两个定点.(3)焦距：的距离，表示为|F1F2|.(4)双曲线就是下列点的集合：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}．差的绝对值|F1F2|F1，F2两焦点间[微提醒]平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为非零常数，即||MF1|－|MF2||＝2a，关键词“平面内”．当2a<|F1F2|时，轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时，轨迹不存在．(二)基本知能小试1．若动点P到点M(1,0)，N(－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线答案：C2．设P是双曲线x225－y216＝1在第一象限内的任意一点，若F1，F2是双曲线左、右两个焦点，则|PF1|－|PF2|等于()A．10B．8C．5D．4答案：A知识点二双曲线的标准方程(一)教材梳理填空焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形焦点F1___________，F2________F1___________，F2________焦距|F1F2|＝2ca，b，c的关系c2＝(－c,0)(c,0)(0，－c)(0，c)a2＋b2[微提醒]标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方差，并且分母大小关系不确定．(二)基本知能小试1．判断正误(1)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.()(2)方程x22－y23＝1表示焦点在y轴上的双曲线．()(3)方程mx2＋ny2＝1(mn<0)表示双曲线．()答案：(1)×(2)×(3)√2．双曲线x210－y22＝1的焦距为()A．22B．42C．23D．43解析：因为c2＝10＋2＝12，所以c＝23，从而焦距为43.答案：D3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为()A．x225－y224＝1B．y225－x224＝1C．x225－y224＝1或y225－x224＝1D．x225－y224＝0或y225－x224＝0解析：b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.答案：C题型一双曲线的定义及应用[学透用活][典例1]若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．[解](1)设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知||MF2|－16|＝6，即|MF2|－16＝±6，解得|MF2|＝10或|MF2|＝22.(2)由x29－y216＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，∴102＝(|PF1|－|...
