高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI第1课时空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行第一章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.(数学抽象)2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.(数学抽象)3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.(逻辑推理)4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.(逻辑推理)思维脉络课前篇自主预习[激趣诱思]牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大.如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢?[知识点拨]一、空间中点、直线和平面的向量表示1.点的位置向量在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.如图.𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ2.空间直线的向量表示式如图①,a是直线l的方向向量,在直线l上取𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ=ta,即𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ=t𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ.如图②,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ=𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ+ta,①或𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ=𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ+t𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ.②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.3.空间平面的向量表示式如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ=𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ+x𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ+y𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.4.平面的法向量如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ名师点析1.设O是空间任一点,M是线段AB的中点,则𝑂𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ=12(𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ+𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ).2.若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),M(x,y,z)为线段AB...
