数学选择性必修第二册RJA第四章数列专题1数列通项公式的求法例1在数列{an}中，a1＝2，且an＝3＋an－12(n≥2)，则an＝________．【解析】将an＝3＋an－12平方可得an2－an－12＝3，所以{an2}是首项为a12＝4，公差d为3的等差数列，故an2＝a12＋(n－1)d＝4＋3(n－1)＝3n＋1.因为an>0，所以an＝3n＋1.3n＋1例2已知数列{an}满足a1＝12，an＋1＝an＋1n2＋n，n∈N*，则an＝________．【解析】由已知条件可得，an＋1－an＝1n2＋n＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，则(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n，即an－a1＝1－1n，故an＝12＋1－1n＝32－1n.32－1n例3已知数列{an}中，an＋1＝2an＋1，且a1＝1，则an＝________．【解析】方法一： an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，令bn＝an＋1，则{bn}是以首项b1＝a1＋1＝2，公比q＝2的等比数列．∴bn＝b1qn－1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.方法二：an＝2an－1＋1＝2(2an－2＋1)＋1＝22an－2＋2×1＋1＝23an－3＋22×1＋2×1＋1＝2n－1a1＋(2n－2＋2n－3＋…＋2＋1)×1＝2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＝2n－1.2n－1例4已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n＋5，a1＝2，则数列{an}的通项公式an＝________．【解析】 an＋1＝2an＋3×5n＋5，∴an＋1＋5＝2(an＋5)＋3×5n，∴an＋1＋5－5n＋1＝2(an＋5－5n)． a1＋5－51＝2≠0，∴{an＋5－5n}是以2为首项，2为公比的等比数列．∴an＋5－5n＝2×2n－1＝2n，故an＝5n＋2n－5.5n＋2n－5例5在正项数列{an}中，a1＝1，a2＝10，anan－1＝an－1an－2(n＝3，4，5，…)，求{an}的通项公式．【解】对anan－1＝an－1an－2两边同时取常用对数可得，lgan－lgan－1＝12(lgan－1－lgan－2)．令bn＝lgan＋1－lgan，则b1＝lga2－lga1＝1，bn－1＝12bn－2(n＝3，4，5，…)，所以bn＝12n－1(n＝1，2，3，…)，所以lgan＋1－lgan＝12n－1，故an＋1an＝.由累乘法可得，ana1＝10×＝，∴an＝．例6已知数列{an}中，a1＝35，an＋1＝an2an＋1，求数列{an}的通项公式．【解】对已知关系式两边取倒数可得1an＋1＝2an＋1an＝1an＋2.又1a1＝53，∴1an是首项为53，公差为2的等差数列，∴1an＝53＋2(n－1)＝6n－13，an＝36n－1.例7已知数列{an}满足an＋1＝5an－6an－1(n≥2)，且a1＝1，a2＝4，则{an}的通项公式an＝________.【解析】令an＋1－xan＝y(an－xan－1)，即an＋1＝(x＋y)an－xyan－1，x＋y＝5，－xy＝－6，解得x＝2，y＝3或x＝3，y＝2.当x＝2，y＝3时，a...
