空间中的平面与空间向量（1）高二年级数学主讲人纪荣强北京市第四中学北京市中小学空中课堂知识概要一、平面法向量的概念二、平面法向量的求法三、课堂小结前面我们学习了空间中直线的方向向量，知道了怎么用空间向量来表示直线.那么在空间中，如何用空间向量来表示平面呢？我们今天来一起探讨.根据共面向量基本定理，同一个平面内的所有向量都可以用两个不共线的向量来表示.这两个不共线的向量也称作一组基底.因此有同学提出，可以用基底来表示一个平面.这种方法的缺点就是需要两个向量.那么能不能类似于直线的方向向量，只用一个向量来表示平面呢？联想到我们之前学习过这样的结论：过空间中一点，有且只有一条直线与已知平面垂直.因此我们可以利用与某个平面垂直的直线来表示这个平面，进而再用该直线的方向向量来表示这个平面.平面的法向量如果是空间中的一个平面，是空间中的一个非零向量，并且表示的有向线段所在的直线与平面垂直，则称为平面的一个法向量，此时也称与垂直，记作.nnnnn平面的法向量性质1：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线的任意一个方向向量都是该平面的法向量.平面的法向量(0)n由于垂直于同一平面的两条直线平行，我们得到性质2：如果是平面的一个法向量，则也是平面的一个法向量，并且平面的任意两个法向量平行.n平面的法向量性质3：如果是平面的一个法向量，A为平面上的一个已知点，则平面由和A唯一确定.nn平面的法向量因为任取平面上一点B，点B一定满足，即反之，满足的点B一定也在该平面上.��nAB=0��nAB=0��nAB.��ABCDABCDABBCCBADDABCABBACDDC如图，在正方体中，是平面的法向量，也是平面的法向量；是平面的法向量，也是平面的法向量DCBAADCB思考：（1）一个平面有多少个法向量？（2）两个平行的平面，它们的法向量有什么关系？（3）平面内的任一向量，与该平面的法向量是什么关系？思考：（1）一个平面有多少个法向量？一个平面有无数个法向量，因此在定义中强调“一个法向量”思考：（2）两个平行的平面，它们的法向量有什么关系？根据前面的例子，我们可以得到，两个平行的平面，它们的法向量平行.思考：（3）平面内的任一向量，与该平面的法向量是什么关系？根据线面垂直的定义，法向量所在直线与该平面内任意一条直线垂直，因此平面内的任一向量，与该平面的法向量垂直.平面法向量的求法下面我们...
