高二年级数学利用导数判断函数的单调性(1)主讲人李劲松清华大学附属中学一、情境引入【问题1】什么是函数的单调性？设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的单调减区间．【问题2】如何判断函数的单调性？图象法：作出函数图象求函数单调区间.定义法：利用单调性定义求函数单调区间.【问题3】研究函数的单调性．33fxxx从定义入手：对任意R，当时，有符号难以判断．12xx，12xx22121211223fxfxxxxxxx，从图象入手：描点作图，观察图象，写出单调区间，但问题是不知道图象形状，且手工描点作图不精确；二、探究新知【问题4】垂直上抛一个小沙袋，图(1)表示沙袋的高度h随时间t变化的函数的图象，图(2)表示沙袋的速度v随时间t变化的函数的图象，请同学们观察两个函数图象并思考下述问题．24.96.51httt9.86.5vtt图(1)图(2)思考(1)：沙袋从抛出到最高点，以及从最高点到地面的过程中，离地面的高度h随时间t变化的关系有否区别？有何联系？图(1)图(2)思考(2)：沙袋从抛出到最高点，以及从最高点到地面的过程中，速度v随时间t变化的关系有否区别，有何联系？图(1)图(2)思考(3)：高度函数h(t)与速度函数v(t)有何关系？两个函数变化有何关系？图(1)图(2)【问题5】这种情况是否具有一般性呢？xyf(x)=xO【问题5】这种情况是否具有一般性呢？xyf(x)=x2O【问题5】这种情况是否具有一般性呢？xyf(x)=1xO结论：若在某个区间内可导，则对有在上单调递增;对有在上单调递减.fxab，xab，，0fxfxab，xab，，0fxfxab，【问题6】单调性和导数这种联系的本质是什么呢？几何意义：平均变化率，割线的斜率.以在上单调递增为例，由单调性的定义，其中和这个条件，可以用一个代数式表达：.fxab，12xx12fxfx12120fxfxxx函数在区间上单调递增与该函数在区间的任意子区间上的平均变化率大于零等价（即与区间上任意割线的斜率大于零等价）.由导数的定义，从形的角度考虑，切线的斜率是由割线的斜率去逼近的，可以得到区间内任意一点的切线斜率大于等于零.ab，ab，ab，【问题6】单调性和导数这种联...
