13.2.1　平面的基本性质.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI,第13章,2022,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课标阐释,1.了解平面的表示方法,点、直线、平面的位置关系.(几何直观)2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实.(逻辑推理)3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系.(几何直观、数学抽象),思维脉络,课前篇 自主预习,【激趣诱思】联合国总部广场万国宫大门对面矗立着一把巨大的三条腿的椅子,这把椅子是瑞士日内瓦艺术家丹尼尔伯塞特的雕塑作品,是1997年国际残联为了呼吁人们关注战争中地雷对平民造成的伤害而建立的纪念雕塑,象征人类因触雷而残缺的肢体,但仍然顽强地、有尊严地站立着.伯塞特在设计时,将椅座的位置向上提升,突出长长的椅腿,同时,将椅背设计成弧线形,整个椅子有微微上翘的感觉,显示它“伤残的尊严”,现在断腿长椅已经成为日内瓦的标志性建筑了.伯塞特的作品给予了我们精神的洗礼,同时也蕴含着数学中的抽象美,思考一下:(1)若要确定一个平面,两个点可以吗?三个点呢?(2)两个平面能否只有一个交点?,【知识梳理】,一、平面的概念与表示1.平面的概念(1)平面是一个不加定义,只需理解的原始概念.(2)立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的.如课桌面、黑板面、平静的湖面等都给我们平面的局部形象.,2.平面的画法,3.平面的表示(1)用希腊字母表示,如平面、平面、平面.(2)用平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面AC、平面BD.名师点析 平面的概念可从以下三个方面理解(1)“平面”是平的;(2)“平面”无厚度;(3)“平面”可以向四周无限延展.,微判断(1)一个平面的面积是16 cm2.()(2)四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形.()(3)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.(),微思考一个平面把空间分成了几部分?提示 两部分.,二、空间中点、直线和平面的位置关系,如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中:,借用集合语言表示位置关系,一般把点看成元素,直线和平面看成集合,微练习如图,点A平面ABC;点A平面BCD;BD平面ABD;平面ABC平面BCD=.,答案 BC,三、与平面有关的基本事实及推论1.与平面有关的三个基本事实,2.基本事实1的三个推论,微练习(1)若直线上有两个点在平面外,则()A.直线上至少有一个点在平面内B.直线上有无穷多个点在平面内C.直线上所有点都在平面外D.直线上至多有一个点在平面内(2)已知点A,直线a,平面.若Aa,a,则A;若A,a,则Aa;若Aa,a,则A;若Aa,a,则A.以上说法中,表达正确的个数是()A.0B.1C.2D.3,答案(1)D(2)B解析(1)直线在平面外有两种情况:一是无公共点,二是有一个公共点.(2)可能a=A;A可以不在直线a上;A可以在平面内;正确.,微思考(1)基本事实1有什么作用?提示 确定平面的依据;判定点线共面.(2)基本事实2有什么作用?提示 确定直线在平面内的依据;判定点在平面内.(3)基本事实3有什么作用?提示 判定两平面相交的依据;判定点在直线上.,课堂篇 探究学习,例1(1)若点A在直线b上,直线b在平面内,则点A,直线b,平面之间的关系用符号可以记作.(2)用符号表示下列语句,并画出图形.点A在平面内但不在平面外;直线a经过平面内一点A,外一点B;直线a在平面内,也在平面内.,(1)答案 Ab,b,A(2)解 A,A.(如图)Aa,Ba,A,B.(如图)=a.(如图),要点笔记 三种语言转换方法:用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线及相互之间的位置关系,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.,变式训练1用符号表示下列语句,并画出图形.(1)平面与相交于直线l,直线a与,分别相交于点A,B.(2)点A,B在平面内,直线a与平面交于点C,点C不在直线AB上.,解(1)用符号表示=l,a=A,a=B,如图所示.(2)用符号表示A,B,a=C,CAB,如图所示.,例2证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面.已知:如图所示,l1l2=A,l2l3=B,l1l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.分析先由l1与l2确定一个平面,再证明l3在这个平面内.也可以证明l1,l2确定的平面与l2,l3确定的平面重合.,证明 方法一(纳入平面法)l1l2=A,l1和l2确定一个平面.l2l3=B,Bl2.又l2,B.同理可证C.Bl3,Cl3,l3.直线l1,l2,l3在同一平面内.方法二(辅助平面法)l1l2=A,l1,l2确定一个平面.l2l3=B,l2,l3确定一个平面.Al2,l2,A.Al2,l2,A.同理可证B,B,C,C.不共线的三个点A,B,C既在平面内,又在平面内.平面和重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.,反思感悟 证明点、线共面问题常用方法:(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入平面法”;(2)先由其中一部分点、线确定一个平面,其余点、线确定另一个平面,再证平面与重合,即用“辅助平面法”;(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”.注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形写出已知与求证,再证明.,延伸探究(1)如果把本例中的“不过同一点”删掉,那么这三条直线是否共面?(2)如果把本例中“三条直线”改为“四条直线”,那么这四条直线是否共面?试证明你的结论.,解(1)不一定共面.若三条直线两两相交,且过同一个点.这三条直线在同一个平面内相交,如图.这三条直线不共面.如图.若三条直线两两相交,且不过同一个点,由例2可知,这三条直线共面.,(2)共面.已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点.求证:a,b,c,d四线共面.证明:无三线共点情况,如图.设ad=M,bd=N,cd=P,ab=Q,ac=R,bc=S.因为ad=M,所以a,d可确定一个平面.因为Nd,Qa,所以N,Q,所以NQ,即b.同理,c,所以a,b,c,d共面.,有三线共点的情况,如图.设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且Ka,因为Ka,所以K和a确定一个平面,设为.因为Na,a,所以N.所以NK,即b.同理,c,d.所以a,b,c,d共面.由知,a,b,c,d共面.,例3已知ABC在平面外,AB=P,AC=R,BC=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.分析证明P,Q,R三点既在平面ABC内,也在平面内,即得P,Q,R共线.也可以证明点Q既在平面APR内,也在平面内,即点Q在平面APR与平面的交线PR上.,证明 方法一AB=P,PAB,P平面.又AB平面ABC,P平面ABC.由基本事实3可知点P在平面ABC与平面的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面的交线上,P,Q,R三点共线.方法二APAR=A,直线AP与直线AR确定平面APR.又AB=P,AC=R,平面APR平面=PR.B平面APR,C平面APR,BC平面APR.QBC,Q平面APR.又Q,QPR,P,Q,R三点共线.,要点笔记 点共线:证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上;也可先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在其上.,变式训练2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C平面ABC1D1=E.则B,E,D1三点的关系为.(填“共线”或“不共线”),答案 共线解析 如图所示,连接A1B,BD1,CD1.A1C平面ABC1D1=E,EA1C,E平面ABC1D1.A1C平面A1BCD1,E平面A1BCD1.平面A1BCD1平面ABC1D1=BD1,EBD1,B,E,D1三点共线.,例4如图所示,三个平面,两两相交于不同的直线,即=c,=a,=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点.分析由a,b都在平面内且不平行,得a,b相交,再证明交点在c上,即证明交点在以c为交线的两个平面,内.,证明=b,=a,a,b.直线a和b不平行,a,b必相交.如图所示,设ab=P,则Pa,Pb.a,b,P,P.又=c,Pc,即交线c经过点P.a,b,c三条直线必过同一点.要点笔记 证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点,再说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内,即该点在另一条直线上,则可得三线共点.,变式训练3如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,HGEF,HGEF=13.求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.,证明 延长EH,FG,不妨设EHFG=O,HGEF,HGEF=13,且EFGH,四边形EFGH为梯形,EH,FG共面,且EH与FG不平行.OEH,EH平面ABD,O平面ABD,OFG,FG平面BCD,O平面BCD.平面ABD平面BCD=BD,OBD,EH,BD,FG三条直线相交于同一点O.,易错辨析对点、线、面的位置关系考虑不全而致误典例 已知空间四点,如果任意三点都不共线,那么由这四点可以确定多少个平面?说明理由.错解 因为不共线的三点确定一个平面,所以由题设条件中的四点可确定四个平面.正解 空间任意三点都不共线的四个点有两种位置关系:第一种,当由其中任意不共线的三点所确定的平面都过第四个点时,由这四个点只能确定一个平面;第二种,当由其中任意不共线的三点所确定的平面都不过第四个点时,由这四个点可确定四个平面.综上所述,由题设条件中的四点可确定一个或四个平面.,纠错心得1.对于确定平面个数问题,在讨论中要全面考虑,尤其要先分清给出几个点的可能的位置关系,再进行分类讨论.2.可借助正方体、三棱锥等特殊几何体进行直观观察.,1.如果点A在直线a上,而直线a在平面内,点B在平面内,则可以表示为()A.Aa,a,BB.Aa,a,BC.Aa,a,BD.Aa,a,B答案 B解析 点A在直线a上,而直线a在平面内,点B在平面内,表示为Aa,a,B.,2.经过空间任意三点作平面()A.只有一个B.可作两个C.可作无数多个D.只有一个或有无数多个答案 D解析 当三点在一条直线上时,过这三点能作无数个平面;当三点不在同一条直线上时,过这三点的平面有且只有一个.故选D.,3.下图中图形的画法正确的个数是(),A.1B.2C.3D.4答案 D,4.如图,已知D,E是ABC的边AC,BC上的点,平面经过D,E两点,若直线AB与平面的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是.答案 P直线DE解析 因为PAB,AB平面ABC,所以P平面ABC.又P,平面ABC平面=DE,所以P直线DE.,5.若l1l2,l3与l1,l2分别相交于点C,B.求证:l1,l2,l3在同一平面内.证明 l1l2,l1,l2确定一个平面记为.l1l3=C,Cl1.l1,C.l2l3=B,Bl2.l2,B.Bl3,Cl3,l3,即l1,l2,l3在同一平面内.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,