高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI10.1.3两角和与差的正切第10章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.能推导出两角和与差的正切公式,了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系.(逻辑推理)2.能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值.(数学运算)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】如果告诉你两座建筑物的高度,你能借助测角仪,求出两座建筑物之间的距离吗?【知识梳理】两角和与差的正切公式名师点析公式的右边为分式形式,其中分子为tanα,tanβ的和或差.分母为1与tanαtanβ的差或和.公式中左边的加减号与右边分子上的加减号相同,与分母上的加减号相反.符号变化规律可简记为“分子同,分母反”.当α,β,α±β角的正切值不存在时,不能使用上述公式,但可以用诱导公式或其他方法解题.微思考你能写出和角、差角这6个公式的逻辑联系框图吗?提示微练习若tanα=12,则tanቀα+𝜋4ቁ=.答案3解析tanቀα+𝜋4ቁ=𝑡𝑎𝑛α+𝑡𝑎𝑛𝜋41-𝑡𝑎𝑛α𝑡𝑎𝑛𝜋4=12+11-12×1=3.课堂篇探究学习探究一化简与求值例1化简下列各式:(1)tan12°+tan33°+tan12°tan33°;(2)(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°).解(1) tan12°+tan33°1-tan12°tan33°=tan(12°+33°)=tan45°=1,∴tan12°+tan33°=1-tan12°tan33°,∴tan12°+tan33°+tan12°tan33°=1.(2) (1+tan21°)(1+tan24°)=1+tan21°+tan24°+tan21°tan24°=1+tan(21°+24°)(1-tan21°tan24°)+tan21°tan24°=1+(1-tan21°tan24°)tan45°+tan21°tan24°=1+1-tan21°tan24°+tan21°tan24°=2.同理可得(1+tan22°)(1+tan23°)=2,∴原式=2×2=4.要点笔记公式的推广:本例第(2)小题所得结论可以推广到一般情形:若A+B=π4,则(1+tanA)(1+tanB)=2;若(1+tanA)(1+tanB)=2,则A+B=kπ+π4,k∈Z.变式训练1求值:(1)1-ξ3tan75°ξ3+tan75°;(2)tan10°+tan35°+tan10°tan35°;(3)(1+tan18°)(1+tan27°).解(1)原式=1ξ3+tan75°1-ξ3tan75°=1tan60°+tan75°1-tan60°tan75°=1tan(60°+75°)=-1.(2) tan10°+tan35°1-tan10°tan35°=tan(10°+35°)=1,∴tan10°+tan35°=1-tan10°tan35°,∴tan10°+tan35°+tan10°tan35°=1.(3)(1+tan18°)(1+tan27°)=1+tan27°+tan18°+tan18°tan27°=1+tan(27°+18°)(1-tan27°tan18°)+tan18°tan27°=2.探究二给值求值问题例2已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tan2α+π4的值.解tan2α=tan[(α+...
