高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI9.2.3向量的数量积第9章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(数学抽象)2.掌握数量积公式及投影向量的意义.(数学运算、直观想象)3.掌握平面向量数量积的性质及其运算律.(数学运算、逻辑推理)4.会求向量的模、夹角,能运用数量积解决向量的垂直问题.(数学抽象、数学运算)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】一只猴子捡到一把连小树也砍不断的钝刀.它向砍柴人请教,砍柴人说:“把刀放到石上磨一磨.”猴子高兴地飞奔回去,把刀放在一块石头上拼命地磨,直到发现刀口和刀背差不多厚了才停下来……结果当然是失败的.难道猴子没有做功吗?不!难道猴子没有用心吗?不!但是做功≠成功.物理学中的做功在数学中叫作什么?是如何表示的呢?【知识梳理】一、向量的数量积及其几何意义(1)定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,我们把数量|a||b|cosθ叫作向量a和b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.我们规定:零向量与任一向量的数量积为0.(2)若两个非零向量a和b的夹角为θ,则.cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|(3)投影向量①定义:设a,b是两个非零向量,如图,𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ表示向量a,𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ表示向量b,过点A作𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ所在直线的垂线,垂足为点A1.我们将由向量a得到向量𝑂𝐴1ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ的变换称为向量a向向量b投影,向量𝑂𝐴1ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ称为向量a在向量b上的投影向量.②向量a在向量b上的投影向量为.注意顺序问题③向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积.名师点析两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、数乘向量的乘法有着本质的区别,书写时一定要注意用a·b表示,不能用a×b或ab表示.(|a|cosθ)𝑏|𝑏|微思考两个向量的数量积结果是向量还是数量?提示是数量.微练习(1)若|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135°,则a·b=()(2)已知向量|a|=10,|b|=12,且a·b=-60,则向量a与b的夹角为()A.60°B.120°C.135°D.150°(3)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,与b方向相同的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为.A.-3ξ2B.-6ξ2C.6ξ2D.2答案(1)B(2)B(3)-32e解析(1)a·b=|a||b|cos135°=3×4×-ξ22=-6ξ2.(2)设a与b的夹角为θ,则cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=-6010×12=-12,又0°≤θ≤180°,所以θ=120°.(3)向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθe=3×cos120°e=-32e.二、向量数量积的性质设a,b是两个非零向...
