9.2.3　向量的数量积.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI,第9章,2022,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课标阐释,1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(数学抽象)2.掌握数量积公式及投影向量的意义.(数学运算、直观想象)3.掌握平面向量数量积的性质及其运算律.(数学运算、逻辑推理)4.会求向量的模、夹角,能运用数量积解决向量的垂直问题.(数学抽象、数学运算),思维脉络,课前篇 自主预习,【激趣诱思】一只猴子捡到一把连小树也砍不断的钝刀.它向砍柴人请教,砍柴人说:“把刀放到石上磨一磨.”猴子高兴地飞奔回去,把刀放在一块石头上拼命地磨,直到发现刀口和刀背差不多厚了才停下来结果当然是失败的.难道猴子没有做功吗?不!难道猴子没有用心吗?不!但是做功成功.物理学中的做功在数学中叫作什么?是如何表示的呢?,【知识梳理】,一、向量的数量积及其几何意义(1)定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角是,我们把数量|a|b|cos 叫作向量a和b的数量积,记作 ab,即ab=|a|b|cos.我们规定:零向量与任一向量的数量积为0.(2)若两个非零向量a和b的夹角为,则.,(3)投影向量,向量a在向量b上的投影向量为.注意顺序问题向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积.名师点析 两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、数乘向量的乘法有着本质的区别,书写时一定要注意用ab表示,不能用ab或ab表示.,微思考两个向量的数量积结果是向量还是数量?提示 是数量.,微练习(1)若|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135,则ab=()(2)已知向量|a|=10,|b|=12,且ab=-60,则向量a与b的夹角为()A.60B.120C.135D.150(3)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120,与b方向相同的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为.,二、向量数量积的性质设a,b是两个非零向量,它们的夹角是,e是与b方向相同的单位向量,则(1)ae=ea=|a|cos.(2)ab ab=0.(3)当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|.特别地,aa=|a|2 或|a|=.(4)|ab|a|b|.,微判断(1)若ab=0(a,b是两个非零向量),则向量a,b的夹角为直角.()(2)若ab0,则向量a,b的夹角为锐角.()微练习已知|a|=7,则aa=.答案 49解析 aa=|a|2=72=49.,三、平面向量数量积的运算律,名师点析(1)向量数量积的运算不适合约分,即ab=ac b=c.(2)向量数量积运算也不适合结合律,即(ab)c不一定等于a(bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量,而a(bc)表示一个与a共线的向量.,微判断(2)a0=0.(),答案(1)A(2)A,课堂篇 探究学习,反思感悟 在求向量的数量积时,若已知向量的模,则直接利用公式ab=|a|b|cos 进行求解.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角,条件是两向量的起点必须重合,否则,要通过平移使两向量符合以上条件.,答案 0-16-16,例2如图,在ABC中,AB=AC=4,BAC=90,D是边BC的中点,求:,要点笔记 投影向量的求解策略求投影向量要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影向量,在正确理解其定义的同时,找准两向量之间的夹角是关键.确定两向量的夹角时,一定要注意“共始点”.,变式训练2(1)已知向量a,b满足|b|=2,|a|=1,a与b的夹角为60,则b在a上的投影向量是.(2)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角=120.求ab;求a在b上的投影向量.(1)答案 a解析 已知向量a,b的夹角=60,故b在a方向上的投影向量为(2)解 ab=|a|b|cos=54cos 120=-10;,(2)|a|=3,|b|=4,ab=-12,则向量a和b的夹角为.,反思感悟 求非零向量的夹角,主要是利用公式 求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出ab的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,ab三者之间的关系,然后代入求解.,答案 60,例4(多选)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,则下列结论中正确的是()A.ac-bc=(a-b)cB.(bc)a-(ca)b不与c垂直C.|a|-|b|a-b|D.(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2答案 ACD解析 根据向量的数量积的分配律知A正确;因为(bc)a-(ca)bc=(bc)ac-(ac)bc=0,所以(bc)a-(ca)b与c垂直,B错误;因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,所以|a|-|b|a-b|成立,C正确;根据平面向量的数量积的运算性质可知D正确.故选ACD.,要点笔记 向量的数量积ab与实数a,b的乘积ab有联系,同时有许多不同之处.例如,由ab=0并不能得出a=0或b=0.特别是向量的数量积不满足结合律.,变式训练4(多选)对于任意向量a,b,c,下列说法不正确的是()A.|ab|=|a|b|B.|a+b|=|a|+|b|C.(ab)c=a(bc)D.|a|=答案 ABC解析 因为ab=|a|b|cos,所以|ab|a|b|,所以A错误;根据向量加法的平行四边形法则,|a+b|a|+|b|,当且仅当a,b同向时,等号成立,所以B错误;因为(ab)c是表示与向量c共线的向量,a(bc)是表示与向量a共线的向量,所以C错误;因为aa=|a|2,所以|a|=,所以D正确.,角度1向量的夹角与垂直问题,(2)已知|a|=2,|b|=1,向量a,b的夹角为60,c=a+5b,d=ma-2b,则实数m为何值时,c与d垂直?,(1)答案 A解析 设a与b的夹角为,由题意得(3a-2b)2=7,9|a|2+4|b|2-12ab=7.,(2)解 由已知得ab=21cos 60=1.若cd,则cd=0.cd=(a+5b)(ma-2b)=ma2+(5m-2)ab-10b2=4m+5m-2-10=9m-12=0,反思感悟 求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤:(2)注意事项:在个别含有|a|,|b|与ab的等量关系式中,常利用消元思想计算cos 的值.,答案 B,角度2向量的模问题例6已知向量a,b满足|b|=2|a|=1,a(a-b),则|2a+b|=(),答案 B,要点笔记 求解向量模时,首先要求向量自身的平方即模的平方,然后进行开方运算.,答案 D解析(a-b)a,(a-b)a=0,即|a|2-ab=0,ab=a2=2.故选D.,利用向量的数量积判断几何图形的形状A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形(2)若O为ABC的内心,且满足,则ABC的形状是()A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形D.以上都不对,答案(1)B(2)A,方法点睛 能够将,并熟练地运用向量的减法,是本题获解的关键.依据向量的数量积的有关知识判断平面图形的形状的关键是由已知条件建立向量的数量积、模、夹角等之间的关系,其中移项、平方是常用手段,可以出现向量的数量积及模等信息.,答案 B,2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30,则a在b上的投影向量的模为(),答案 C解析 a在b上的投影向量的模为|a|cos 30=4cos 30=2,故选C.,答案 B,4.设e1和e2是互相垂直的单位向量,且a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则ab等于()A.-2B.-1C.1D.2答案 B解析 因为|e1|=|e2|=1,e1e2=0,所以ab=(3e1+2e2)(-3e1+4e2)=-9|e1|2+8|e2|2+6e1e2=-912+812+60=-1.,5.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为60,那么向量a-4b的模为()A.2B.2C.6D.12答案 B解析|a-4b|2=a2-8ab+16b2=22-821cos 60+1612=12,|a-4b|=2.,6.已知|a|=3,|b|=2,且a,b的夹角为60,如果(3a+5b)(ma-b),那么实数m的值为.,解析 由题意知(3a+5b)(ma-b)=0,即3ma2+(5m-3)ab-5b2=0,即3m32+(5m-3)32cos 60-522=0,7.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,ab=1,则向量a与a-b的夹角为.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,