高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI9.2二项式定理与杨辉三角第九章2022内容索引0102必备知识预案自诊关键能力学案突破03素养提升微专题10构造法在解决二项式定理问题中的应用必备知识预案自诊【知识梳理】1.二项式定理及相关的概念名称二项式定理概念公式(a+b)n=_______________________________________(n∈N+)称为二项式定理二项式系数(k=0,1,2,…,n)称为第k+1项的二项式系数二项式展开式的通项公式Tk+1=an-kbk(其中0≤k≤n,k∈N,n∈N+)称为二项展开式的通项公式C𝑛𝑘C𝑛0an+C𝑛1an-1b+…+C𝑛𝑘an-kbk+…+C𝑛𝑛bn(n∈N+)C𝑛0an+C𝑛1an-1b+C𝑛2an-2b2+…+C𝑛𝑘an-kbk+…+C𝑛𝑛bnC𝑛𝑘温馨提示二项式系数C𝑛𝑘(k=0,1,2,…,n)是组合数,它与二项展开式中对应项的系数不一定相等,应注意区分二项式系数与项的系数这两个不同的概念.二项式系数是指C𝑛0,C𝑛1,…,C𝑛𝑛,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.如(a+bx)n的二项展开式中,第k+1项的二项式系数是C𝑛𝑘,而该项的系数是C𝑛𝑘an-kbk.当然,在某些二项展开式中,各项的系数与二项式系数是相等的.2.二项式系数的性质3.杨辉三角具有的性质(1)每一行都是的,且两端的数都是;(2)从第三行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的两数.(3)利用二项式系数的对称性可知,二项式系数先逐渐变,再逐渐变的,当n是偶数时,的二项式系数最大,当n是奇数时,的二项式系数相等且最大.(1)C𝑛0+C𝑛1+C𝑛2+…+C𝑛𝑛=;(2)C𝑛1+C𝑛3+C𝑛5+…=C𝑛0+C𝑛2+C𝑛4+…=.C𝑛0,C𝑛1,C𝑛2,…,C𝑛𝑛-2,C𝑛𝑛-1,C𝑛𝑛2n2n-1对称1之和大小中间一项中间两项【考点自诊】1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)(a+b)n的展开式中的第k项是an-kbk.()(2)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.()(3)在(a+b)n的展开式中,每一项的二项式系数都与a,b无关.()(4)通项公式Tk+1=an-kbk中的a和b不能互换.()(5)二项式的展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的.()C𝑛𝑘C𝑛𝑘××√√×2.(2021年1月8省适应性测试)(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是()A.60B.80C.84D.120答案D3.若ቀ𝑥+1𝑥ቁ𝑛的展开式的二项式系数之和为64,则ቀ𝑥+1𝑥ቁ𝑛的展开式的常数项为()A.10B.20C.30D.120答案B解析因为二项式系数之和2n=64,所以n=6.ቀ𝑥+1𝑥ቁ𝑛的展开式的通项是Tk+1=C6𝑘·x6-k·ቀ1𝑥ቁ𝑘=C6𝑘x6-2k.根据题意,...
