高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第2课时直线与椭圆第八章2022内容索引0102必备知识预案自诊关键能力学案突破03素养提升微专题8解析几何减少运算量的常见技巧必备知识预案自诊【知识梳理】1.点P(x0,y0)与椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的位置关系当𝑥02𝑎2+𝑦02𝑏2>1时,点P在椭圆外;当𝑥02𝑎2+𝑦02𝑏2<1时,点P在椭圆内;当𝑥02𝑎2+𝑦02𝑏2=1时,点P在椭圆上.2.将直线方程与椭圆方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,则直线与椭圆相交⇔Δ>0;直线与椭圆相切⇔Δ=0;直线与椭圆相离⇔Δ<0.3.椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的通径长为2𝑏2𝑎.4.相交弦设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=ξ1+𝑘2|x1-x2|=ට(1+𝑘2)[(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2]或|AB|=ට1+1𝑘2|y1-y2|=ටቀ1+1𝑘2ቁ[(𝑦1+𝑦2)2-4𝑦1𝑦2],k为直线斜率且k≠0.5.中点弦(1)主要题型:①求中点弦所在直线的方程;②求弦中点的轨迹.(2)处理方法①根与系数的关系法:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解.②“点差法”:若斜率为k的直线l与圆锥曲线C有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),将A,B的坐标代入曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系.以椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)为例,若弦AB的中点为P(x0,y0),直线AB的斜率为k,将点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标代入椭圆方程得b2𝑥12+a2𝑦12=a2b2,b2𝑥22+a2𝑦22=a2b2,相减得b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0,所以b2x0(x1-x2)=-a2y0(y1-y2),即b2x0=-ka2y0.注意:此法不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点,故有时要用判别式加以检验.【考点自诊】1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)通径是所有的焦点弦中最短的弦.()(3)由直线方程与椭圆方程联立消元可得一元二次方程.若二次项系数恒为正,且方程的Δ<0,则直线与椭圆一定有两个交点.()(2)斜率为k的直线与椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)相交于A,B两点,且AB的中点为P(x0,y0),则有b2x0=-ka2y0.()√√×2.若直线y=x+2与椭圆有两个交点,则m的取值范围是()A.(1,+∞)B.(1,3)∪(3,+∞)C.(3,+∞)D.(0,3)∪(3,+∞)𝑥2𝑚+𝑦23=1答案B解析由ቊ𝑦=𝑥+2,𝑥2𝑚+𝑦23=1,得(m+3)x2+4mx+m=0.由Δ>0,且m≠3及m>0,得m>1且m≠3.3.(2020四川成都模拟)已知斜率为1的直线l与椭圆𝑥24+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A.2B.4ξ55C.4ξ105D.8ξ105答案C解析设直线l的方程为y=x+t,代...
