高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI8.6.1直线与直线垂直第八章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解异面直线垂直的定义.(数学抽象)2.理解异面直线所成角的概念.(数学抽象)3.会求给定两条异面直线所成的角.(数学运算)课前篇自主预习激趣诱思如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AA1垂直的棱有几条?你是如何判断它们是相互垂直的?知识点拨知识点、异面直线所成的角(或夹角)异面直线所成的角定义已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作a⊥b范围空间两条直线所成的角α的取值范围是0°≤α≤90°要点笔记由异面直线互相垂直的定义可得如下结论:一条直线垂直于两条平行线中的一条,也垂直于另一条.微练习在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAE=25°,则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为.答案65°解析 B1C1∥BC,∴∠AEB为异面直线AE与B1C1所成的角. ∠BAE=25°,∴∠AEB=65°.课堂篇探究学习探究求异面直线所成的角例题如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.分析先作出角,再证明角的两边分别与两异面直线平行,最后在三角形中求角.解(方法一)如图①,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,则OG∥B1D,EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角. GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.①(方法二)如图②,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE∥DB1,且HE=12DB1.于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角.连接HF,设AA1=1,则EF=ඥ22,HE=ඥ32,取A1D1的中点I,连接IF,IH,则HI⊥IF,∴HF2=HI2+IF2=54,∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.②(方法三)如图③,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接B1Q,则B1Q∥EF.于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.通过计算,不难得到:B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.③反思感悟异面直线所成角的求解策略(1)求两条异面直线所成角的一般步骤是:①构造:恰当地选择一个点(线段的端点或中点),用平移法构造异面直线所成的角;②证明:证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角;③计算:通过解三角形等知识,求出①中...
