高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI8.2函数与数学模型第8章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.(数学建模)2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.(数学运算)课前篇自主预习情境导入爱因斯坦说过,复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元,40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长,指数函数值的增长是非常迅速的,可以根据这一特点来进行资金的管理.例如,按复利计算利率的一种储蓄,本金为a元,每期的利率为r,设本利和为y,存期为x,那么要知道存一定期限之后所得的本利和,就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1000元,每期的利率为2.25%.五期后的本利和是多少?知识点拨一、三种函数模型的性质函数类型y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的单调性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行随α值而不同增长速度①y=ax(a>1):随着x的增大,y增长速度越来越快,会远远大于y=xα(α>0)的增长速度,y=logax(a>1)的增长速度越来越慢微练习1当x足够大时,下列函数的值最大的是()A.y=exB.y=lnxC.y=x2D.y=e-x答案A解析结合指数函数、对数函数及二次函数的图象变化趋势,可知A正确.微练习2“红豆生南国,”春来发几枝,如图所示,给出了红豆生长时间t(单位:月)与枝数y(单位:枝)的散点图,那么下列对红豆的枝数与生长时间的关系拟合最好的函数是()A.y=2tB.y=log2tC.y=t3D.y=2t2答案A解析根据本题所给的散点图,观察得到图象在第一象限,且从左到右图象是上升的,并且增长速度越来越快,根据四个选项中函数图象特征可得,用指数函数模型拟合最好.故选A.二、常用函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y=kx+b(k,b为常数,k≠0)(2)二次函数模型y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)(3)指数函数模型y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)(4)对数函数模型y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0且a≠1)(5)幂函数模型y=axn+b(a,b为常数,a≠0)(6)分段函数y=要点笔记建立函数模型解决问题的基本过程实际问题→建立数学模型→求解数学模型→解决实际问题微练习某城市现有人口数为100万,如果20年后该城市人口总数不超过120万,那么该市...
