高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI第1课时余弦定理第六章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.掌握余弦定理及其推论.(数学抽象)2.借助向量的运算,探索余弦定理的证明过程.(逻辑推理)3.能够利用余弦定理解决有关问题.(数学运算)课前篇自主预习激趣诱思隧道工程的设计,经常要测算山脚的长度,工程技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B,C的距离,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角,那么如何求出山脚的长度BC呢(如图)?显然,用以前所学知识很难解决这个问题,为此我们来学习一种新的解决办法——余弦定理.知识点拨知识点一、余弦定理1.文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.2.符号语言:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.要点笔记应用余弦定理解三角形的类型(1)已知两边及其夹角求第三边及其他两角.(2)已知三边求三角.微练习(1)在△ABC中,若AB=1,AC=3,A=60°,则BC=.(2)已知△ABC是等腰三角形,且a=c=5,B=120°,则b=.答案(1)ξ7(2)5ξ3解析(1)由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=12+32-2×1×3cos60°=7,所以BC=ξ7.(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=52+52-2×5×5cos120°=75,所以b=5ξ3.知识点二、余弦定理的推论1.在△ABC中,cosA=b2+c2-a22bc,cosB=c2+a2-b22ca,cosC=a2+b2-c22ab.2.一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.微练习在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=ξ7,c=ξ3,则B=.答案5𝜋6解析由已知a=1,b=ξ7,c=ξ3,根据余弦定理的推论,得cosB=a2+c2-b22ac=1+3-72ξ3=-ξ32. 0
