高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI6.3.2二项式系数的性质第六章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题.(数学运算)2.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数.(数学抽象)课前篇自主预习情境导入同学们根据二项式定理写出(a+b)n(n=1,2,3,4,5,6)的二项式系数.可以写成如下形式:这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了,所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示,在那本书里是用汉字表示的,这个表称为“杨辉三角”.在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的,杨辉三角的发现比欧洲早500年左右,由此可见我国古代在数学方面的成就.问题你能利用上述规律写出下一行的数值吗?知识梳理二项式系数的性质1.对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即𝐶nm=𝐶nn-m.2.增减性与最大值当kn+12时,𝐶nk随k的增加而减小.当n是偶数时,中间的一项𝐶nn2取得最大值;当n是奇数时,中间的两项𝐶nn-12与𝐶nn+12相等,且同时取得最大值.3.各二项式系数的和𝐶n0+𝐶n1+𝐶n2+…+𝐶nn=2n.名师点析二项式系数与二项展开式中某一项的系数是不同的概念,特别地,(a+b)n(a>0,b>0)的展开式中,各项的系数即对应的各二项式系数;(a-b)n(a>0,b>0)的展开式中,各项的系数的绝对值即对应的二项式系数.微思考(1)二项式系数取得最大值的项的系数一定是系数中最大的吗?提示不一定.如果项的系数中还有其他的常数,则该项的系数不一定最大(2)𝐶nr-1,𝐶nr,𝐶n+1r之间有什么关系?提示𝐶n+1r=𝐶nr-1+𝐶nr.微练习(1)在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为,在(a+b)9的展开式中,二项式系数最大的项为.(2)A=𝐶n0+𝐶n2+𝐶n4+…与B=𝐶n1+𝐶n3+𝐶n5+…的大小关系是()൬ξx+1x൰n答案(1)70a4b4126a5b4与126a4b5(2)B(3)D解析(1)因为(a+b)8的展开式中有9项,所以中间一项的二项式系数最大,该项为𝐶84a4b4=70a4b4.因为(a+b)9的展开式中有10项,所以中间两项的二项式系数最大,这两项分别为𝐶94a5b4=126a5b4,𝐶95a4b5=126a4b5.(2) (1+1)n=𝐶n0+𝐶n1+𝐶n2+…+𝐶nn=2n,(1-1)n=𝐶n0−𝐶n1+𝐶n2-…+(-1)n𝐶nn=0,∴𝐶n0+𝐶n2+𝐶n4+…=𝐶n1+𝐶n3+𝐶n5+…=2n-1,即A=B.(3)二项式展开式的通项公式为Tr+1=𝐶nr·(x12)n-r·(x-1)r=𝐶nr·x12n-32r,令r=7,则12n-212=0,解得n=21,通项公式可化简为𝐶21r·x21-3r2.由于n...
