5.5数学归纳法最新课程标准1.理解数学归纳法的原理及其使用范围．2．会利用数学归纳法证明一些简单问题.[教材要点]知识点一归纳法由有限多个个别的特殊事例得出________的推理方法，通常称为归纳法．一般结论状元随笔设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，归纳推理，得当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.[提示]依题意，先求函数结果的分母中x项的系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…可推知an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项bn＝2n，所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝x2n－1x＋2n.[答案]x2n－1x＋2n知识点二数学归纳法对于某些与自然数有关的数学命题，常采用下面的方法和步骤来证明它的正确性：(1)证明当n取________(例如n0＝0，n0＝1等)时命题成立．(2)假设当________(k为自然数，k≥n0)时命题正确，证明当________时命题也正确．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确．这种证明方法叫做数学归纳法．初始值n0n＝kn＝k＋1[基础自测]1．一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，第n层和第n＋1层花盆总数分别是f(n)和f(n＋1)，则f(n)与f(n＋1)的关系为()A．f(n＋1)－f(n)＝n＋1B．f(n＋1)－f(n)＝nC．f(n＋1)－f(n)＝2nD．f(n＋1)－f(n)＝1答案：A2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A．1B．2C．3D．0解析：边数最少的凸n边形是三角形．答案：C3．用数学归纳法证明等式“1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2”时，从k到k＋1左边需增加的代数式为()A．2k－2B．2k－1C．2kD．2k＋1解析：等式“1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2”中，当n＝k时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)，当n＝k＋1时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)，∴从k到k＋1左边需增加的代数式为2k＋1.答案：D4．用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，在归纳假设中，假设当n＝k时命题成立，那么下一步应证明n＝________时命题也成立．解析：两个奇数之间相差2，∴n＝k＋2.答案：k＋2题型一数学归纳法的概念例1用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a...
