高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI5.5.2简单的三角恒等变换第五章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.能运用和差角的正弦、余弦公式及二倍角公式等进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).(逻辑推理)2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.(数学运算)课前篇自主预习[激趣诱思]同学们,你知道电脑输入法中“半角”和“全角”的区别吗?半角、全角主要是针对标点符号来说的,全角标点占两个字节,半角标点占一个字节,但不管是全角还是半角,汉字都要占两个字节.事实上,汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符,而通常的英文字母、数字键、符号键都是半角字符.那么我们学习的任意角中是否也有“全角”与“半角”之分,二者有何数量关系?[知识点拨]知识点一:半角公式sinα2=±ට1-𝑐𝑜𝑠α2,cosα2=±ට1+𝑐𝑜𝑠α2,tanα2=±ට1-𝑐𝑜𝑠α1+𝑐𝑜𝑠α.名师点析(1)若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;(2)若给出了角α的具体范围,则先求所在范围,再根据所在范围确定符号;(3)若给出的角α是某一象限的角,则根据下表决定符号:𝛼2𝛼2(4)正切半角的有理形式:tanα2=𝑠𝑖𝑛α1+𝑐𝑜𝑠α=1-𝑐𝑜𝑠α𝑠𝑖𝑛α.微判断(1)sin15°=±ට1-𝑐𝑜𝑠30°2.()(2)对于∀α∈R,sin𝛼2=12sinα都不成立.()(3)若5π<θ<6π,cos𝜃2=a,则cos𝜃4=ට1+𝑎2.()答案(1)×(2)×(3)×微练习已知180°<α<360°,则cos𝛼2的值等于()A.-ට1-cos𝛼2B.ට1-cos𝛼2C.-ට1+cos𝛼2D.ට1+cos𝛼2答案C解析 180°<α<360°,∴90°<𝛼2<180°.又cos2𝛼2=1+cos𝛼2,∴cos𝛼2=-ට1+cos𝛼2.知识点二:辅助角公式辅助角公式asinx+bcosx=ξ𝑎2+𝑏2sin(x+φ),其中tanφ=𝑏𝑎,φ所在的象限由a,b的符号决定.名师点析辅助角公式:asinx+bcosx=ξ𝑎2+𝑏2sin(x+φ)tanφ=𝑏𝑎公式的推导.asinx+bcosx=ξ𝑎2+𝑏2(𝑎ξ𝑎2+𝑏2sinx+𝑏ξ𝑎2+𝑏2cosx),令cosφ=𝑎ξ𝑎2+𝑏2,sinφ=𝑏ξ𝑎2+𝑏2,则asinx+bcosx=ξ𝑎2+𝑏2(sinxcosφ+cosxsinφ)=ξ𝑎2+𝑏2sin(x+φ)其中φ角所在象限由a,b的符号确定,φ角的值由tanφ=𝑏𝑎确定,或由sinφ=𝑏ξ𝑎2+𝑏2和cosφ=𝑎ξ𝑎2+𝑏2共同确定.微练习函数f(x)=sinx+2cosx的最大值为()答案BA.5B.ξ5C.3D.1解析f(x)=sinx+2cosx=ξ12+22sin(x+φ)=ξ5sin(x+φ),故其最大值为ξ5.故选B.微拓展用tan𝛼2来表示α的正弦、余弦、正切.sinα=2tan𝛼21+tan2...
