5．2.2同角三角函数的基本关系明确目标发展素养1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx．2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.1.通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养．2.借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养.(一)教材梳理填空同角三角函数的基本关系：基本关系式语言描述平方关系sin2α＋cos2α＝同一个角α的正弦、余弦的平方和等于商数关系sinαcosα＝α≠kπ＋π2，k∈Z同一个角α的正弦、余弦的商等于角11tanαα的正切(二)基本知能小试1．判断正误：(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．()(2)对任意角α，sinα2cosα2＝tanα2都成立．()(3)因为sin294π＋cos2π4＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．()(4)对任意角α，sinα＝cosα·tanα都成立．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．已知α∈0，π2，sinα＝35，则cosα＝()A．45B．－45C．－17D．35解析：因为α∈0，π2，所以cosα>0，所以cosα＝1－sin2α＝1－352＝45.答案：A3．化简1－sin23π5的结果是()A．cos3π5B．sin3π5C．－cos3π5D．－sin3π5解析：因为3π5是第二象限角，所以cos3π5＜0，所以1－sin23π5＝cos23π5＝cos3π5＝－cos3π5.答案：C4．已知3sinα＋cosα＝0，则tanα＝________.解析：由题意得：3sinα＝－cosα≠0，∴tanα＝－13.答案：－13题型一利用同角三角函数的基本关系求值【学透用活】对同角三角函数的基本关系式的理解(1)同角三角函数的基本关系式中的角都是“同一个角”，而sin2α＋cos2β＝1不一定成立．“同角”与角的表示形式无关，如sin2α2＋cos2α2＝1成立，这里的同角是指α2.(2)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝sinαcosα仅对α≠π2＋kπ(k∈Z)成立．[典例1](1)若sinα＝－45，且α是第三象限角，求cosα，tanα的值；(2)若tanα＝－158，求sinα的值．[解](1) sinα＝－45，α是第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－35，∴tanα＝sinαcosα＝－45×－53＝43.(2) tanα＝－158<0，∴α是第二、四象限角．由tanα＝sinαcosα＝－158，sin2α＋cos2α＝1，可得sin2α＝15172.当α是第二象限角时，sinα＝1517；当α是第四象限角时，sinα＝－1517.[方法技巧]...
