高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI5.2.3简单复合函数的导数第五章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.了解复合函数的概念.(数学抽象)2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数.(逻辑推理、数学运算)简单复合函数的导数ቊ概念求导法则——应用课前篇自主预习【激趣诱思】我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、常数函数,我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算得到新的函数,还有一种构造新函数的方法,是把两个或几个函数“复合”起来.怎样“复合”呢?复合后的函数怎样求导呢?本节课就让我们来解决这些问题.【知识梳理】1.复合函数的概念一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).2.复合函数的求导法则一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.名师点析求复合函数的导数需注意以下几点:(1)中间变量的选择应是基本函数结构;(2)关键是正确分析函数的复合层次;(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;(4)善于把一部分表达式作为一个整体;(5)最后要把中间变量微思考函数y=log2(x+1)是复合函数吗?是由哪些函数复合而成的?提示是,函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1这两个函数复合而成的.微练习(1)函数y=sin4x的导数为.(2)函数的导数为.y=𝑒12x答案(1)4cos4x(2)12𝑒12x解析(1)y'=cos4x·(4x)'=4cos4x.(2)y'=𝑒12x·(12x)'=12𝑒12x.课堂篇探究学习探究一求复合函数的导数π4解(1)设y=u2,u=4-3x,则yu'=2u,ux'=-3,于是yx'=yu'·ux'=-6(4-3x)=18x-24,即y'=18x-24.(2)设y=cosu,u=2x-π4,则yu'=-sinu,ux'=2,于是yx'=yu'·ux'=-2sin2x-π4,即y'=-2sin2x-π4.(3)设y=lnu,u=4x-1,则yu'=1𝑢,ux'=4,于是yx'=yu'·ux'=44𝑥-1,即y'=44𝑥-1.(4)设y=eu,u=x2,则yu'=eu,ux'=2x,于是yx'=yu'·ux'=e𝑥2·2x,即y'=2xe𝑥2.反思感悟复合函数求导的步骤变式训练1求下列函数的导数:(1)y=103x-2;(2)y=ln(ex+x2);(3)y=2sin(3x-π6);(4)y=1ට1-2𝑥.解(1)令u=3x-2,则y=10u,所以yx'=yu'·ux'=10uln10·(3x-2)'=3×103x-2ln10.(2)令u=ex+x2,则y=lnu,所以yx'=yu'·ux'=1𝑢·(ex+x2)'=1e𝑥+𝑥2·(ex+2x)=e𝑥+2𝑥e𝑥+𝑥2.(3)设y=2sinu,u=3x-π6,则yx'=yu'...
