4.3.1　第2课时　异面直线.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI,第4章,2022,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课标阐释,1.理解异面直线的定义及判断方法.(逻辑推理、直观想象)2.了解异面直线垂直的定义.(数学抽象)3.理解异面直线所成角的概念,会求给定两条异面直线所成的角.(数学抽象、数学运算),思维脉络,课前篇 自主预习,【激趣诱思】我们已经知道,异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线,而且前面也从几何体中直观认识了异面直线.事实上,异面直线在实际生活中也是广泛存在的,那么对于两异面直线,我们怎样用定义来描述它们呢?,【知识点拨】,知识点一:异面直线1.定义:我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.2.异面直线的画法:为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托,如图所示.3.异面直线判定定理:与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线.,微判断(1)分别在两个平面内的直线是异面直线.()(2)在空间中不相交的直线是异面直线.()(3)平面内的一条直线与平面外的一条直线是异面直线.()(4)不同在平面内的两条直线是异面直线.()答案(1)(2)(3)(4),知识点二:异面直线所成的角,微练习如图,在正方体中,异面直线AB与CC所成的角是.答案 45,课堂篇 探究学习,例1如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体,证明:直线BC1与直线A1C是异面直线.分析由于利用异面直线的定义不能直接说明两直线不在同一个平面内的特征,因此可利用反证法与异面直线判定定理法证明.,证明(方法1反证法)假设直线BC1与直线A1C不是异面直线,则直线BC1与直线A1C共面.设直线BC1与直线A1C所在的平面为,则B,C,C1,A1.B,C,C1三点确定的平面为平面BCC1,即平面BCC1B1,平面BCC1B1为,A1平面BCC1B1,这与事实相矛盾,故假设不成立,直线BC1与直线A1C是异面直线.(方法2异面直线判定定理法)A1C平面BCC1B1=C,又BC1平面BCC1B1,且CBC1,直线BC1与直线A1C是异面直线.,反思感悟 判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;(2)反证法:假设所证异面直线是共面的(即平行或相交),由此得到一个矛盾的结论;(3)判定定理法:与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线.,变式训练1如图,在三棱锥P-ABC中,PB与AC是异面直线吗?并由此判断三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有几对.解 由于PB平面ABC=B,AC平面ABC,BAC,因此PB与AC是异面直线.同理可知AP与BC异面,PC与AB异面,因此三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有3对.,例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.分析先作出角,再证明角的两边分别与两异面直线平行,最后在三角形中求角.,解(方法1)如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,则OGB1D,EFA1C1,GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.GA1=GC1,O为A1C1的中点,GOA1C1,异面直线DB1与EF所成的角为90.,(方法3)如图,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接B1Q,则B1QEF.于是DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.通过计算,不难得到B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90.,反思感悟 异面直线所成角的求解策略(1)求两条异面直线所成角的一般步骤:构造:恰当地选择一个点(线段的端点或中点),用平移法构造异面直线所成的角;证明:证明中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角;计算:通过解三角形等知识,求出中所构造的角的大小;结论:假如所构造的角的大小为,若090,则即所求异面直线所成角的大小;若90180,则180-即所求.(2)异面直线所成的角可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:直接平移法(可利用图中已有的平行线);中位线平移法;补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).,延伸探究 若把“直线DB1”换为“直线DC1”呢?,解 如图,连接A1C1,A1D.在A1B1C1中,A1E=EB1,C1F=FB1,所以EFA1C1,所以A1C1D为直线DC1与EF所成的角.在A1C1D中,A1D=DC1=A1C1,所以A1C1D=60,所以直线DC1与EF所成的角等于60.,例3在底面边长为2的正四棱锥P-ABCD中,异面直线PC与AD所成角的正切值为2,则四棱锥P-ABCD的高为.,解析 根据题意,该几何体如图所示.其中H为BC的中点,O为底面ABCD的中心,则PHBC.异面直线PC与AD所成角的正切值为2,即直线PC与BC所成角的正切值为2,所以tanPCH=2,即=2.因为HC=BH=1,所以PH=2.在RtPOH中,利用勾股定理得PO2=PH2-OH2=3,解得PO=.,要点笔记 根据已知几何体中两异面直线所成的角求解几何体中的其他量问题,首先根据题意作出满足条件的角,再结合待求已知量,建立方程求解.,变式训练3已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BC=4,E是C1D1的中点,且异面直线AD1与CE所成的角是60,则AA1=.答案 2,解析 如图,F为CD中点,则可得D1ECF且D1E=CF,则四边形D1ECF为平行四边形,D1FCE,则AD1F即为异面直线AD1与CE所成的角,即AD1F=60.,1.两直线a,b垂直是两直线a,b所成的角为90的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 C解析 由两直线垂直的定义可知答案为C.,2.异面直线是指()A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.空间中既不平行也不相交的两条直线答案 D解析 空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行,二是异面,故A错误;分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可能异面,如图,就是相交的情况,故B错误;如图的a,b可看作是平面内的一条直线a与平面外的一条直线b,显然它们是相交直线,故C错误;只有D符合定义.故选D.,3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,下列直线与AA1成异面直线的是()A.BB1B.CC1 C.B1C1D.AB答案 C解析 在三棱柱ABC-A1B1C1中,直线AA1与直线BB1平行,直线AA1与直线CC1平行,直线AA1与直线AB相交,直线AA1与直线B1C1异面.故选C.,4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有条.答案 6解析 由异面直线的定义,知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1,共6条.,5.若AOB=120,直线aOA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为.答案 60解析 aOA,又根据等角定理且异面直线所成的角为锐角或直角,a与OB所成的角为60.,6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,中心为O,且底面边长和侧棱长相等,M是PC的中点,求MO与AB所成的角的大小.,解 如图,连接AC,则O为AC的中点.因为M为PC的中点,所以在APC中,MOPA,即PAB为异面直线MO与AB所成的角(或其补角).由已知得PA=AB=PB,所以PAB为等边三角形,即PAB=60,故MO与AB所成的角的大小为60.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,